Kategorija (matematika)

Kategorija je v matematiki algebrska struktura, ki jo sestavlja zbirka objektov. Objekti so med seboj povezani tako, da za vsak objekt vemo, kateri je začetni in kateri končni. Te povezave lahko prikažemo ali obravnavamo tudi kot puščice.

Grupam podobne strukture
Zaprtaα Asociativnost Identiteta Invertibilnost Komutativnost
Polgrupoid Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Mala kategorija Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Grupoid Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Magma Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Kvazigrupa Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno
Enotska magma Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Zanka Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Polgrupa Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Inverzna polgrupa Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno
Monoid Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Komutativni monoid Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Zahtevano
Grupa Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Abelova grupa Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano
 Zaprtost, ki se uporablja v veliko virih, je ekvivalentni aksiom kot popolnost, četudi je definiran drugače.

Področje matematike, ki obravnava kategorije in preslikave med njimi, se imenuje teorija kategorij.

DefinicijaUredi

Kategorijo   sestavljajo

  • razred, oznaka ob(C), objektov
  • razred morfizmov z oznako hom(C), imenujemo jih tudi puščice ali preslikave med objekti. Vsakemu morfizmu lahko pripišemo začetni   in končni   objekt v  
  • za vsake tri objekte  ,   in   se binarna operacija   imenuje kompozitum morfizmov. Kompozitum   in   se zapiše kot  
tako, da velja
  • asociativnost, če je   in  , :potem velja tudi
  in
  • identiteta: za vsak objekt   :obstoja morfizem  , ki ga imenujemo morfizem identitete za   tako, da za vsak morfizem   velja  .

ZglediUredi

Razred vseh množic z vsemi funkcijami med njimi, ki so običajne kompozicije funkcij tvorijo veliko kategorijo, ki jo označujemo s Set.

Pregled kategorijUredi

kategorija objekt morfizem
Mag grupoidi grupoidni homorfizem
Manp gladke mnogoterosti p-krat zvezno diferenciabilne preslikave
Met metrični prostori kratke preslikave
R-Mod moduli R, kjer je R kolobar homorfizem modulov
Ring kolobarji homorfizem kolobarjev
Set množice funkcije
Top topološki prostori zvezne funkcije
Uni uniformni prostori uniformno zvezne funkcije
VectK vektorski prostori nad obsegom K K-linearne preslikave
Rel množica binarna relacija
Ab Abelova grupa morfizem grup
Grp grupe morfizem grup
Ord urejena množica monotona funkcija

Dualna kategorijaUredi

Kategorija  , ki ima objekte enake kot prvotna kategorija in ima puščice obrnjene se imenuje dualna (nasprotna) kategorija. Označuje se z  

Produkt kategorijUredi

Če imamo dve kategoriji   in  , lahko tvorimo produkt kategorij  . Objekti v tej nastali kategoriji so paroma sestavljeni iz po enega objekta iz kategorije   in enega objekta iz kategorije  . Morfizem nove kategorije je prav tako par sestavljen iz po enega morfizma kategorije   in enega morfizma iz kategorije  .

Mala kategorijaUredi

Kategorija   se imenuje mala kategorija, če sta   in   množici in ne lastni množici (razred, ki ni množica).

Zunanje povezaveUredi