Algebrska struktura

Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.

Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih značilnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te značilnosti se imenujejo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje značilnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če se ugotovi, da ima neka struktura določene značilnosti, se lahko sklepa, da te značilnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.

Najpomembnejše algebrske strukture

Grupa

Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri se lahko brez omejitev izvaja neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo se v splošnem piše z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):

• operacija je asociativna: a * (b * c) = (a * b) * c
• v množici obstaja nevtralni element e, tako da velja: a * e = e * a = a
• vsak element a ima svoj inverzni element a⁻¹, tako da velja: a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e

Posebej zanimiv zgled grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:

• operacija je komutativna: a * b = b * a

Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:

• množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
• množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
• množica vseh od 0 različnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa
• množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa, ni pa Abelova grupa.

Kolobar in obseg

Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Ena od operacij se po navadi imenuje seštevanje in se jo označi z znakom +, druga pa se imenuje množenje in se jo označi z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).

Táka množica K se imenuje kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.

Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, se imenuje kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, se taka množica imenuje obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, se imenuje komutativni obseg ali polje.

Znani komutativni obsegi so:

• obseg racionalnih števil
• obseg realnih števil
• obseg kompleksnih števil

Vektorski prostor

Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev).

Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. Ta operacija se imenuje množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne značilnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.

Zanimive zglede vektorskih prostorov se najde v množici funkcij.

Glej tudi

• matematična struktura
• teorija kategorij
• polje

Viri

• Prijatelj, Niko (1967), Matematične strukture 2, Knjižnica Sigma (št. 15), Ljubljana: Mladinska knjiga, COBISS 17534209