Hadamardova matrika

Hadamardova matrika (oznaka $H\,$) je kvadratna matrika z razsežnostjo $n\times n\,$, ki ima za elemente samo vrednosti 1 in -1. Stolpci matrike so medsebojno ortogonalni, kar pomeni, da poljubni dve vrstici predstavljata pravokotne vektorje.

Ime ima po francoskem matematiku Jacquesu Salomonu Hadamardu (1865–1963). Prvi pa je sistematično proučeval matrike te vrste angleški matematik James Joseph Sylvester (1814–1897).

Zgledi

$H_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$

$H_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

$H_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

Značilnosti

• Za Hadamardovo matriko z razsežnostjo $n\times n\,$ velja, da je

$HH^{\mathrm {T} }=nI_{n}\$

kjer je

• • $H^{T}\,$ transponirana matrika matrike $H\,$
  • $I_{n}\,$ enotska matrika z razsežnostjo $n\times n\,$

• Determinanta matrike $H\,$ je enaka ${\pm n}^{n/2}\,$

Sylvestrova sestava

Primere Hadamardovih matrik je prvi sestavil James Joseph Sylvester v letu 1867. Če je $H\,$ Hadamardova matrika reda $n\,$, potem je matrika

${\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}$

tudi Hadamardova reda $2n\,$. To lahko nadaljujemo z uporabo zaporedja matrik, ki jih imenujemo Walsheve matrike

$H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$

$H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},$

in

$H_{2^{k}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k-1}}&H_{2^{k-1}}\\H_{2^{k-1}}&-H_{2^{k-1}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k-1}},$

kjer je

• $2\leq k\in N$
• $\left.\otimes \right.$ Kroneckerjev produkt

Sylvestrove matrike so

• simetrične
• njihova sled je enaka 0
• elementi v prvi vrstici in prvem stolpcu so pozitivni

Glej tudi

• seznam vrst matrik
• kompleksna Hadamardova matrika

Zunanje povezave

• Hadamardova matrika na MathWorld (angleško)