Gaussova konstanta

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena števila 2 (OEIS A014549):

G={\frac {1}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268416740731862814297327990468\ldots \!\,.

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\!\,,

tako, da je:

G={\frac {1}{2\pi }}\operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)\!\,,

kjer je $\mathrm {B} \,$ funkcija Β.

Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami

Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:

\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\!\,.

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.^[1]

S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:

L_{1}=\pi G={\frac {\pi }{M}}\!\,,

L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}={\frac {M}{2}}\!\,,

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):

M={\frac {1}{G}}=1,1981402347355922074399224922803238\!\,.

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto $L_{1}\,$ in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

\varpi \equiv L_{1}=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}=2,6220575542921198104648395898911194\ldots \!\,,

\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\!\,.

Algebrsko neodvisnost $\operatorname {\Gamma } (1/4)\,$ in $G\,$ od $\pi \,$ je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.^[2]^[3]

G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })\!\,,

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

G={\sqrt[{4}]{32}}\,e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}\!\,.

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}{\frac {\pi m}{2}}\!\,.

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos x}}\,\mathrm {d} x\!\,,

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh \pi x}}}\!\,.

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):

G=[0;1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots ]\!\,.

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.