Gaussova konstanta
Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena števila 2 (zaporedje A014549 v OEIS):
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
tako, da je:
kjer je funkcija Β.
Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantamiUredi
Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstantiUredi
S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (zaporedje A053004 v OEIS):
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Druge formuleUredi
Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (zaporedje A053002 v OEIS):
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
Glej tudiUredi
SkliciUredi
- ↑ Schneider (1937).
- ↑ Chudnovsky (1975).
- ↑ Chudnovsky (1984), str. 8.
ViriUredi
- Chudnovsky, Gregory (1975), "Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis", Notices of the AMS, 22: A-486
- Chudnovsky, Gregory (1984), Contributions to the theory of transcendental numbers, Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1500-8
- Schneider, Theodor (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Mathematische Annalen, 113: 1–13
Zunanje povezaveUredi
- Weisstein, Eric Wolfgang. "Gauss's Constant". MathWorld (angleščina).