Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena števila 2 (OEIS A014549):
![{\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268416740731862814297327990468\ldots \!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67274fe60adde4633bcb18cdef4c0cd4edb08dcd)
Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2998741e5adf1f01c41b25d27c3246d6ee2716)
tako, da je:
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795f7def68e842161aebbead36f459bf916008ed)
kjer je
funkcija Β.
Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.
Povezava z drugimi konstantami
uredi
Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:
-
Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]
Lemniskatini konstanti
uredi
S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:
-
-
ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):
-
Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:
- (OEIS A062539),
-
Algebrsko neodvisnost in od je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]
Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:
-
ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:
-
Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:
-
Pojavi se pri izračunavanju integralov:
-
-
Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):
-
Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.
- Chudnovsky, Gregory (1975), »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«, Notices of the AMS, 22: A-486
- Chudnovsky, Gregory (1984), Contributions to the theory of transcendental numbers, Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1500-8
- Schneider, Theodor (1937), »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«, Mathematische Annalen, 113: 1–13