Kvadratno iracionalno število

Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe ulomke poniči z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

s celimi koeficienti , in in z od nič različno diskriminanto . Kvadratna iracionalna števila so oblike:

za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot:

kjer ni popolni kvadrat.

To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.

Kvadratna iracionalna števila z danim tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.

Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih številUredi

Enočlene oblikeUredi

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila (zaporedje A051144 v OEIS):

 
 
 
 

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:

  • prazen za števila oblike   (zaporedje A002522 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ..., od katerih so praštevila (zaporedje A002496 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ... in sestavljena (zaporedje A134406 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...
Za ta števila tako velja:
 
  • na primer 1 za  , 1,1,1 za  , 1,2,1 za  , ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike  , imajo neprazen niz (zaporedje A070303 v OEIS):
 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...

V splošnem tako velja:

 

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom (zaporedje A124809 v OEIS):

 
 
 
 

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

  • z 2 (zaporedje A065005 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • s 3 (zaporedje A065006 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • s 4 (zaporedje A065007 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • s 5 (zaporedje A065008 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • s 6 (zaporedje A065009 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • s 7 (zaporedje A065010 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • z 8 (zaporedje A065011 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,
  • z 9 (zaporedje A065012 v OEIS):  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...

Dvočlene oblikeUredi

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer   ni kvadratno število:

 
 
  (število zlatega reza),
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Če je   kvadratno število in  , je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

 
 

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.

Splošne oblikeUredi

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Druge oblikeUredi

Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve Fermat-Pellove enačbe.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Quadratic Surd". MathWorld (angleščina).
  • Računalo verižnih ulomkov za kvadratna iracionalna števila (angleško)
  • Dokaz, da e ni kvadratno iracionalno število na PlanetMath (angleško)