Aritmetično-geometrična sredina

Aritmétično-geométrična sredína dveh realnih števil $x$ in $y$ je v matematiki srednja vrednost, določena na naslednji način:

Najprej se izračuna aritmetična sredina števil $x$ in $y$ . Označi se jo z $a 1$ . Nato se izračuna njuno geometrično sredino in se jo označi z $g 1$ - to je kvadratni koren produkta $xy$ :

{\begin{aligned}a_{1}&={\frac {1}{2}}(x+y),\\g_{1}&={\sqrt {xy}}\!\,.\end{aligned}}

Nato se ta operacija iterira, tako da se namesto $x$ vzame $a 1$ , namesto $y$ pa $g 1$ . Na ta način sta določeni dve zaporedji $(a n)$ in $(g n)$ :

{\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\!\,.\end{aligned}}

Ti dve zaporedji konvergirata k istemu številu, kar predstavlja aritmetično-geometrično sredino števil $x$ in $y$ . Označuje se jo z $M(x, y)$ , $M (x, y)$ in včasih $agm(x, y)$ ali $AGM(x, y)$ .

To se lahko rabi za algoritemske namene v metodi AGM.

Zgled uredi

Za izračun aritmetično-geometrične sredine števila $a 0 = 23$ in $g 0 = 7$ , se najprej izračuna njuno aritmetično in geometrično sredino:

{\begin{aligned}a_{1}&={\frac {1}{2}}(23+7)=15,\\g_{1}&={\sqrt {23\cdot 7}}=12,68857754044952\ldots \!\,.\end{aligned}}

Nato pa se iterira:

{\begin{aligned}a_{2}&={\frac {1}{2}}(15+12,68857754044952)=13,84428877022476\ldots ,\\g_{2}&={\sqrt {15\cdot 12,68857754044952}}=13,79596546482858\ldots \\\dots \end{aligned}}

Prve štiri iteracije dajo naslednje vrednosti:

$n$	$a n$	$g n$
0	23	7
1	15	12,68857754044952…
2	13,84428877022476…	13,79596546482858…
3	13,82012711752667…	13,82010599666786…
4	13,82011655709727…	13,82011655709323…

Aritmetično-geometrična sredina števil 23 in 7 je skupna limita teh dveh zaporedij, kar je približno 13,82011655709.

Zgodovina uredi

Prvi algoritem na podlagi tega para zaporedij se je pojavil v Legendrovem delu. Njegove značilnosti je naprej raziskoval Carl Friedrich Gauss.^[1]

Značilnosti in uporaba uredi

Geometrična sredina dveh pozitivnih števil ni nikoli večja od njune aritmetične sredine (glej neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin). Zaradi tega je $(g n)$ naraščajajoče zaporedje, $(a n)$ padajoče in velja $g n \leq M(x, y) \leq a n$ . To sta strogi neenakosti, če je $x \neq y$ .

$M(x, y)$ je tako število med geometrično in aritmetično sredino števil $x$ in $y$ , še posebej je med $x$ in $y$ .

Pri $r \geq 0$ velja $M(rx, ry) = r M(x, y)$ .

Za $M(x, y)$ obstaja integralska oblika:

{\begin{aligned}\operatorname {M} (x,y)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}(x+y){\bigg /}\operatorname {K} \left({\frac {x-y}{x+y}}\right)\!\,,\end{aligned}}

kjer je $K(k)$ popolni eliptični integral 1. vrste:

\operatorname {K} (k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\!\,.

Ker proces aritmetično-geometrične sredine konvergira tako hitro, prek te formule zagotavlja učinkovit način računanja eliptičnih integralov. V tehniki se na primer uporablja pri načrtovanju eliptičnih filtrov.^[2]

V programu za simbolno računanje Maple je aritmetično-geometrična sredina določena z GaussAGM(a, b), v programu Mathematica pa z ArithmeticGeometricMean[a, b].

Sorodni koncepti uredi

Obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 je Gaussova konstanta:

{\frac {1}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0,8346268416740731862814297327990468\ldots \!\,

Na podobni način se lahko izračuna geometrično-harmonična sredina z zaporedjema geometrične in harmonične sredine. Tudi aritmetično-harmonična sredina se lahko podobno definira, zavzame pa enake vrednosti kot geometrična sredina.

Modificirano aritmetično-geometrično sredino je vpeljal in definiral Semjon Adlaj na strani 1094 izvoda Notices of the AMS septembra 2012.^[3] Izkazala se je za uporabno pri računanju popolnih eliptičnih integralov 2. vrste.

Glej tudi uredi

Sklici uredi

↑ Cox (2004), str. 481.
↑ Dimopoulos (2011), str. 147–155.
↑ Adlaj (2012).

Viri uredi

Adlaj, Semjon (2012), »An eloquent formula for the perimeter of an ellipse«, Notices of the AMS, 59 (8): 1094–1099
Cox, David A. (2004), »The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss«, v J. L. Berggren; Jonathan M. Borwein; Peter Borwein (ur.), Pi: A Source Book, Springer, ISBN 978-0-387-20571-7 prvič objavljeno v L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), str. 275-330
Dimopoulos, Hercules G. (2011), Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis, Springer, ISBN 978-94-007-2189-0

Zunanje povezave uredi

Weisstein, Eric Wolfgang. »Arithmetic-Geometric Mean«. MathWorld.
Kalkulator aritmetično-geometrične sredine (angleško)
Dokaz stopnje konvergence na PlanetMath (angleško)

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

[BerggrenBorwein2004-1] Cox (2004), str. 481.

[Dimopoulos2011-2] Dimopoulos (2011), str. 147–155.

[3] Adlaj (2012).

[1]

[2]

[3]