Racionalna vrsta zeta

Racionalna vrsta zeta je v matematiki predstavitev poljubnega realnega števila z neskončno vrsto, ki vsebuje racionalna števila, z Riemannovo funkcijo ζ(s) ali Hurvitzevo funkcijo ζ(s, q). Posebej je za dano realno število racionalna vrsta ζ dana kot:

kjer je racionalno število, vrednost je fiksna, pa je Hurwitzeva funkcija ζ. Ni težko pokazati, da se na ta način lahko predstavi vsako realno število .

Elementarne vrsteUredi

Za celo število   je:

 

Za   ima več zanimivih števil preproste izraze kot racionalne vrste ζ:

 

in:

  (zaporedje A153810 v OEIS),

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vrsta:

 

sledi iz vsote Gauss-Kuzminove porazdelitve. Obstajata tudi vrsti za število π:

 

in:

 

ki je pomembna zaradi hitre konvergence. Zadnja vrsta sledi iz splošne enakosti:

 

ki sledi iz rodovne funkcije za Bernoullijeva števila  :

 

Adamchik in Srivastava sta podala podobno vrsto:[1]

 

Vrste povezane s funkcijo poligamaUredi

Iz Taylorjeve vste za funkcijo poligama v točki   se lahko ipelje več dodatnih povezanih izrazov. Taylorejeva vrsta v tej točki je:

 

Vrsta konvergira za  . Posebni primer je:

 

Tukaj je ψ funkcija digama,   pa je funkcija poligama. Lahko se izpelje več vrst z binomskimi koeficienti:

 

kjer je   kompleksno število. Izraz sledi iz razvoja v vrsto Hurwitzeve ζ:

 

v točki  . Podobne vrste se lahko izpeljejo s preprosto algebro:

 

in alternirajoče vrste:

 
 
 

Za celo število   se lahko vrsta:

 

zapiše kot končna vsota:

 

Izraz sledi iz preproste rekurzivne enačbe  .

Naslednja vrsta:

 

se lahko za celo število   zapiše kot:

 

Izraz sledi iz enakosti  . Ta proces se lahko uporabi rekurzivno za končno vsoto splošnih izrazov oblike:

 

Polcele potenčne vrsteUredi

Podobne vrste se lahko razvijejo z raziskovanjem Hurwitzeve funkcije ζ za polcela števila. Tako je na primer vrsta:

 

Izrazi v obliki p-vrst (hiperharmoničnih vrst)Uredi

Adamchik in Srivastava sta podala vrsti:[1]

 

in:

 

kjer so   Bernoullijeva števila,   pa Stirlingova števila 2. vrste.

Druge vrsteUredi

Drugi konstanti s pomembnima racionalnima vrstama ζ sta na primer:

SkliciUredi

ViriUredi

  • Borwein, Jonathan Michael; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000), "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF), J. Comp. App. Math., 121 (1–2): 247–296, doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8
  • Adamchik, Victor S.; Srivastava, H. M. (1998), "Some series of the zeta and related functions" (PDF), Analysis, 18: 131–144, doi:10.1524/anly.1998.18.2.131