Racionalna vrsta zeta

Racionalna vrsta zeta je v matematiki predstavitev poljubnega realnega števila z neskončno vrsto, ki vsebuje racionalna števila, z Riemannovo funkcijo ζ(s) ali Hurvitzevo funkcijo ζ(s, q). Posebej je za dano realno število $x\,$ racionalna vrsta ζ dana kot:

$x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)\!\,,$

kjer je $q_{n}\,$ racionalno število, vrednost $m\,$ je fiksna, $\zeta (s,m)\,$ pa je Hurwitzeva funkcija ζ. Ni težko pokazati, da se na ta način lahko predstavi vsako realno število $x\,$.

Elementarne vrste

Za celo število $m>1\$ je:

$x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]\!\,.$

Za $m=2\,$ ima več zanimivih števil preproste izraze kot racionalne vrste ζ:

$1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]\!\,$

in:

$1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]=0,422784335098\ldots \!\,,$ (OEIS A153810),

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vrsta:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]\!\,$

sledi iz vsote Gauss-Kuzminove porazdelitve. Obstajata tudi vrsti za število π:

$\ln \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]\!\,$

in:

${\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]\!\,,$

ki je pomembna zaradi hitre konvergence. Zadnja vrsta sledi iz splošne enakosti:

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}\!\,,$

ki sledi iz rodovne funkcije za Bernoullijeva števila $B_{n}\,$:

${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}\!\,.$

Adamchik in Srivastava sta podala podobno vrsto:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\ln \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)\!\,.$

Vrste povezane s funkcijo poligama

Iz Taylorjeve vste za funkcijo poligama v točki $z=1\,$ se lahko ipelje več dodatnih povezanih izrazov. Taylorejeva vrsta v tej točki je:

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\!\,.$

Vrsta konvergira za $|z|<1\,$. Posebni primer je:

$\sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right],\qquad (|t|<2)\!\,.$

Tukaj je ψ funkcija digama, $\psi ^{(m)}\,$ pa je funkcija poligama. Lahko se izpelje več vrst z binomskimi koeficienti:

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)\!\,,$

kjer je $\nu \,$ kompleksno število. Izraz sledi iz razvoja v vrsto Hurwitzeve ζ:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)\!\,$

v točki $y=-1\,$. Podobne vrste se lahko izpeljejo s preprosto algebro:

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1\!\,$

in alternirajoče vrste:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}\!\,,$

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }\!\,,$

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}\!\,.$

Za celo število $n\geq 0\,$ se lahko vrsta:

$S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]\!\,$

zapiše kot končna vsota:

$S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]\!\,.$

Izraz sledi iz preproste rekurzivne enačbe $S_{n}+S_{n+1}=\zeta (n+2)\,$.

Naslednja vrsta:

$T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]\!\,$

se lahko za celo število $n\geq 1\,$ zapiše kot:

$T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]\!\,.$

Izraz sledi iz enakosti $T_{n}+T_{n+1}=S_{n}\,$. Ta proces se lahko uporabi rekurzivno za končno vsoto splošnih izrazov oblike:

$\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right],\qquad (m\in \mathbb {Z} ^{+})\!\,.$

Polcele potenčne vrste

Podobne vrste se lahko razvijejo z raziskovanjem Hurwitzeve funkcije ζ za polcela števila. Tako je na primer vrsta:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta (n+2)-1\!\,.$

Izrazi v obliki p-vrst (hiperharmoničnih vrst)

Adamchik in Srivastava sta podala vrsti:

$\sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)\!\ ,$

in:

$\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)\!\,,$

kjer so $B_{k}\,$ Bernoullijeva števila, $S(m,k)\,$ pa Stirlingova števila 2. vrste.

Druge vrste

Drugi konstanti s pomembnima racionalnima vrstama ζ sta na primer:

• Hinčinova konstanta
• Apéryjeva konstanta $\zeta (3)\,$

Viri

• Borwein, Jonathan Michael; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000), »Computational Strategies for the Riemann Zeta Function« (PDF), J. Comp. App. Math., 121 (1–2): 247–296, doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 25. septembra 2006, pridobljeno 19. julija 2015
• Adamchik, Victor S.; Srivastava, H. M. (1998), »Some series of the zeta and related functions« (PDF), Analysis, 18: 131–144, doi:10.1524/anly.1998.18.2.131, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 26. septembra 2011, pridobljeno 19. julija 2015