Avtomorfizem

Avtomorfizem (iz grške besede starogrško αὐτός: autos - sam in starogrško μορφή: morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima avtomorfizem grupe.

Avtomorfizem grupe

Kadar avtomorfizmi nekega objekta $X\,$ tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte $X\,$.

Avtomorfizem grupe objekta $X\,$ iz kategorije $C\,$ označujemo z ${\text{Aut}}_{C}(X)$ ali poenostavljeno ${\text{Aut}}(X)$.

Zgledi in značilnosti

• V teoriji množic je avtomorfizem množice $X\,$ poljubna permutacija elementov iz množice $X\,$. Grupa izomorfizmov množice $X\,$ se imenuje tudi simetrična grupa elementov $X\,$.
• V elementarni aritmetiki se množica celih števil (označujemo jo z $Z\,$) obravnava kot grupa s seštevanjem, ki ima netrivialni avtomorfizem, ki ga imenujemo negacija. Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem. V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe, ne pa kolobarja ali obsega.
• Avtomorfizem grupe je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe. To je permutacija elementov grupe tako, da ostane struktura nespremenjena.
• V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora $V\,$ linearna preslikava $V\to V$. Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad $V$.
• Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe. V primeru racionalnih števil (Q) in [[realno število|realnih števil] (R) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov. Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega, ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem, ki vsakemu

R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.

• V teoriji grafov je avtomorfizem grafa permutacija točk, ki ohranja povezave in nepovezave.
• V topologiji se morfizem med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava. Avtomorfizem topološkega prostora je homoemorfizem prostora v sebe.
• V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija. Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa
• V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe.

Notranji in zunanji avtomorfizem

V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme.

V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element $a\,$ grupe $G\,$ je konjugacija po $a\,$ je operacija $\phi _{a}{\text{ }}:{\text{ }}G\to G$, ki je dana z $\phi _{a}(g)=aga^{-1}$. Lahko se dokaže, da je konjugacija po $a\,$ grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo ${\text{Aut(G)}}$, ki jo označujemo z ${\text{Inn(G)}}$.

Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa) ${\text{Aut(G)}}/{\text{Inn(G)}}$ se pogosto označuje kot ${\text{Out(G)}}$.

Glej tudi

• morfizem
• kolobar endomorfizmov
• Frobeniusov avtomorfizem

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Automorphism«. MathWorld.
• Avtomorfizem Arhivirano 2012-03-22 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2013-01-24 na Wayback Machine. (angleško)
• Grupa avtomorfizmov na MathWorld (angleško)
• Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2009-02-26 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)