Avtomorfizem (iz grške besede starogrško αὐτός: autos - sam in starogrško μορφή: morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima avtomorfizem grupe.

Avtomorfizem grupe

uredi

Kadar avtomorfizmi nekega objekta   tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte  .

Avtomorfizem grupe objekta   iz kategorije   označujemo z   ali poenostavljeno  .

Zgledi in značilnosti

uredi

R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.

Notranji in zunanji avtomorfizem

uredi

V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme.

V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element   grupe   je konjugacija po   je operacija  , ki je dana z  . Lahko se dokaže, da je konjugacija po   grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo  , ki jo označujemo z  .

Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa)   se pogosto označuje kot  .

Glej tudi

uredi

Zunanje povezave

uredi
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Automorphism«. MathWorld.
  • Avtomorfizem Arhivirano 2012-03-22 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
  • Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2013-01-24 na Wayback Machine. (angleško)
  • Grupa avtomorfizmov na MathWorld (angleško)
  • Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2009-02-26 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)