Simetrična grupa

Simetrična grupa je v matematiki grupa nad končno množico $n\,$ simbolov, katere elementi so permutacije teh $n\,$ simbolov in za katere je grupna operacija kompozicija teh permutacij. Permutacije so obravnavane kot bijektivne funkcije iz množice simbolov v sebe . Čeprav lahko simetrično grupo definiramo za neskončne množice, se bomo tukaj ukvarjali samo s končnimi simetričnimi grupami. V zvezi s tem pa z njihovo uporabo, elementi, njihovimi konjugacijami, končnimi prezentacijami ter njihovimi podgrupami.

Cayleyjeva tabela simetrične grupe S₄

Cayleyjeva tabela simetrične grupe S₃
(multiplikacijska tabela permutacijskih matrik)

To so položaji šestih matrik:

Samo enotske matrike so simetrične glede na glavno diagonalo, to pa pomeni, da simetrična grupa ni Abelova.

Simetrične grupe ne smemo zamenjevati s simetrijsko grupo

Definicija

Simetrična grupa nad končno množico $X\,$ je grupa, katere elementi so bijektivne funkcije iz $X\,$ v $X\,$ in grupna operacija je kompozicija funkcij. Za končno množico se izrazi permutiranje in bijektivne funkcije nanašajo na isto operacijo, ki je tukaj preureditev. Simetrična grupa stopnje $n\,$ je simetrijska grupa nad množico X = {1, 2, …, n}

Simetrično grupo nad množico $X\,$ označujemo na različne načine kot so S_X, ${\mathfrak {S}}_{X}$, Σ_X, and Sym(X). Kadar je $X\,$ množica {1, 2, …, n} lahko simetrično grupo označimo tudi kot S_n, ${\mathfrak {S}}_{n},$ Σ_n in Sym(n).

Simetrična grupa nad neskončnimi množicami se obnašajo popolnoma drugače kot simetrijske grupe nad končnimi množicami.

Simetrična grupa nad množico $n\,$ elementov ima red n! . Je Abelova grupa, če in samo, če je n ≤ 2. Za n = 0 in n = 1(prazna množica in množica z enim elementom) je simetrijska grupa trivialna grupa (ker je 0! = 1! = 1) in v tem primeru je alternirajoča grupa enaka simetrijski grupi. Grupa S_n je rešljiva grupa, če je in samo, če je n ≤ 4. to je tudi bistven del preizkusa Abel-Ruffinijevega izreka. To kaže na to, da za vsak n>4 obstojajo polinomi s stopnjo n, ki niso rešljivi s koreni. To pomeni, da rešitev ne moremo izraziti s končnim številom seštevanj, množenj, deljenj in iskanja korenov na koeficientih polinoma.

Glej tudi

• simetrijska grupa