Simetrična grupa

Cayleyjeva tabela simetrične grupe S4
Cayleyjeva tabela simetrične grupe S3
(multiplikacijska tabela permutacijskih matrik)

To so položaji šestih matrik:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg
Samo enotske matrike so simetrične glede na glavno diagonalo, to pa pomeni, da simetrična grupa ni Abelova.

Simetrične grupe ne smemo zamenjevati s simetrijsko grupo

Simetrična grupa je v matematiki grupa nad končno množico simbolov, katere elementi so permutacije teh simbolov in za katere je grupna operacija kompozicija teh permutacij. Permutacije so obravnavane kot bijektivne funkcije iz množice simbolov v sebe [1]. Čeprav lahko simetrično grupo definiramo za neskončne množice, se bomo tukaj ukvarjali samo s končnimi simetričnimi grupami. V zvezi s tem pa z njihovo uporabo, elementi, njihovimi konjugacijami, končnimi prezentacijami ter njihovimi podgrupami.

DefinicijaUredi

Simetrična grupa nad končno množico   je grupa, katere elementi so bijektivne funkcije iz   v   in grupna operacija je kompozicija funkcij. Za končno množico se izrazi permutiranje in bijektivne funkcije nanašajo na isto operacijo, ki je tukaj preureditev. Simetrična grupa stopnje   je simetrijska grupa nad množico X = {1, 2, …, n}

Simetrično grupo nad množico   označujemo na različne načine kot so SX,  , ΣX, and Sym(X).[1] Kadar je   množica {1, 2, …, n} lahko simetrično grupo označimo tudi kot Sn,[1]   Σn in Sym(n).

Simetrična grupa nad neskončnimi množicami se obnašajo popolnoma drugače kot simetrijske grupe nad končnimi množicami.

Simetrična grupa nad množico   elementov ima red n! [2]. Je Abelova grupa, če in samo, če je n ≤ 2. Za n = 0 in n = 1(prazna množica in množica z enim elementom) je simetrijska grupa trivialna grupa (ker je 0! = 1! = 1) in v tem primeru je alternirajoča grupa enaka simetrijski grupi. Grupa Sn je rešljiva grupa, če je in samo, če je n ≤ 4. to je tudi bistven del preizkusa Abel-Ruffinijevega izreka. To kaže na to, da za vsak n>4 obstojajo polinomi s stopnjo n, ki niso rešljivi s koreni. To pomeni, da rešitev ne moremo izraziti s končnim številom seštevanj, množenj, deljenj in iskanja korenov na koeficientih polinoma.

Glej tudiUredi

Opombe in skliciUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 Jacobson (2009), s. 31
  2. Jacobson (2009), s. 32. izrek 1.1.