Harmónična sredína je v matematiki ena od srednjih vrednosti . Po navadi je primerna v primerih, ko je potrebno najti srednje vrednosti stopenj .
Harmonična sredina H dveh pozitivnih realnih števil a in b je določena kot:
H
(
a
,
b
)
=
2
1
a
+
1
b
=
2
a
b
a
+
b
.
{\displaystyle H(a,b)={\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}={\frac {2ab}{a+b}}\!\,.}
Zanjo velja max{a , b } ≥ H (a , b ) ≥ min{a , b } z enakostjo natanko tedaj, ko je a = b .
V splošnem je harmonična sredina določena tudi za več števil a 1 , a 2 , ... a n in sicer kot:
H
(
a
1
,
a
2
,
…
a
n
)
=
n
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
=
n
∑
i
=
1
n
1
a
i
,
a
i
>
0
za vse
i
.
{\displaystyle H(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}},\qquad a_{i}>0{\text{ za vse }}i\!\,.}
Harmonična sredina je hkrati tudi obratna vrednost aritmetične sredine obratnih vrednosti.
Harmonična vrsta je vrsta , kjer je vsak njen člen za prvim harmonična sredina sosednjih dveh členov, predhodnega in naslednjega.
Povezava z drugimi sredinami
uredi
Geometrijska konstrukcija treh pitagorejskih sredin (dveh števil). Harmonična sredina, označena s H , je obarvana škrlatno.
Harmonična sredina je ena od treh pitagorejskih sredin . Za vse množice podatkov, ki vsebujejo vsaj en par neenakih vrednosti , je harmonična sredina vedno najmanjša od njih, aritmetična sredina največja, geometrična sredina pa vmes. Če so vse vrednosti v neprazni množici podatkov enake, so sredine vedno enake med seboj. Harmonična, geometrična in aritmetična sredina množice {2, 2, 2} so na primer vse enake 2.
Harmonična sredina je posebni primer M −1 potenčne sredine .
Ker harmonična sredina številskega seznama teži močno proti najmanjšim elementom seznama, teži (v primerjavi z aritmetično sredino) v smislu da ublaži vpliv velikih vrednosti in oteži vpliv majhnih.
Velikokrat se namesto harmonične napačno rabi aritmetična sredina.[1]
H
(
1
,
π
2
−
π
)
=
π
=
3
,
141
592
654
…
{\displaystyle H\left(1,{\frac {\pi }{2-\pi }}\right)=\pi =3,141\,592\,654\,\dots }
H
(
e
,
π
)
=
2
,
914
647
474
…
{\displaystyle H(e,\pi )=2,914\,647\,474\,\dots }
H
(
2
,
3
)
=
1
,
557
078
144
…
{\displaystyle H({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=1,557\,078\,144\,\dots }
H
(
1
,
2
)
=
4
3
=
1
,
3
¯
{\displaystyle H(1,2)={\frac {4}{3}}=1,{\overline {3}}}
H
(
1
,
2
)
=
1
,
171
572
875
253
81
…
{\displaystyle H(1,{\sqrt {2}})=1,171\,572\,875\,253\,81\,\dots }
H
(
ln
2
,
ln
3
)
=
0
,
850
002
495
…
{\displaystyle H(\ln 2,\ln 3)=0,850\,002\,495\,\dots }
H
(
1
,
ln
2
)
=
0
,
818
767
781
700
717
…
{\displaystyle H(1,\ln 2)=0,818\,767\,781\,700\,717\,\dots }
H
(
ln
2
,
γ
)
=
0
,
629
891
549
…
{\displaystyle H(\ln 2,\gamma )=0,629\,891\,549\,\dots }
H
(
1
,
2
,
π
3
(
1
−
π
2
)
)
=
π
{\displaystyle H\left(1,2,{\frac {\pi }{3(1-{\frac {\pi }{2}})}}\right)=\pi }
H
(
1
,
2
,
3
)
=
18
11
=
1
,
63
¯
{\displaystyle H(1,2,3)={\frac {18}{11}}=1,{\overline {63}}}
H
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
7
,
8
,
9
)
=
68040
21387
=
3
,
181
371
861
…
{\displaystyle H(1,2,3,\cdots ,7,8,9)={\frac {68040}{21387}}=3,181\,371\,861\,\dots }