Elipsoid

Elipsoíd je ploskev drugega reda, ki je razširitev pojma elipsa na tri razsežnosti. Enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu je:

Elipsoid z osmi (a, b, c) = (4, 2, 1)

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\!\,,$

kjer so a , b in c ekvatorialni polmeri vzdolž osi x, y in z. Števila a, b in c so pozitivna realna števila, ki določajo obliko elipsoida. Dolžine odsekov, ki jih ploskev določa na pripadajočih koordinatnih oseh (x, y, z), se imenujejo glavne polosi elipsoida. Za števila a , b in c lahko nastopijo naslednji primeri:

• $a=b=c:\,\!$ sfera;
• $a=b>c:\,\!$ sploščeni sferoid (oblika diska);
• $a=b<c:\,\!$ podolgovati sferoid (oblika cigare);
• $a>b>c:\,\!$ triosni elipsoid (tri različne polosi).

Kadar sta dve osi enaki, se nastala površina imenuje sferoid.

Parametrizirana oblika

V sfernem koordinatnem sistemu se lahko parametrizirano obliko enačbe elipsoida napiše kot:

${\begin{aligned}x&=a\,\sin(\theta )\cos(\varphi );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin(\theta )\sin(\varphi );\\z&=c\,\cos(\theta );\end{aligned}}\,\!$

kjer je:

${\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!$ kolatituda ali zenitni kot in ${\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!$ dolžina ali azimut:

Kota lahko zavzameta naslednje vrednosti:

${\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!$

Površina

Površine elipsoida se ne da izračunati z uporabo samo elementarnih funkcij.

Izračuna se jo lahko s pomočjo naslednjega obrazca:

$S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right),\,\!$

kjer pomeni:

$o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)\$ za sploščene elipsoide

$o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\$ za podolgovate elipsoide

kot, ki se imenuje kotna izsrednost;

$m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}}\,\!$

$E(o\!\varepsilon ,m)\,\!$ in $F(o\!\varepsilon ,m)\,\!$ sta nepopolna eliptična integrala prvega in drugega reda.

Približna vrednost površine se dobi tudi s pomočjo naslednjega obrazca:

$S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}.\,\!$

kjer uporaba vrednosti p ≈ 1,6075 da relativno napako do največ 1,061 %. Vrednost p = 8/5 = 1,6 je najboljša za skoraj okrogle elipsoide (z relativno napako približno 1,178 %).

Prostornina

Zaradi nenatančnega izražanja se izraz elipsoid včasih uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev.Prostornino tega telesa se izračuna z obrazcem:

$V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!$

Kadar so vse polosi enake, se dobi prostornino krogle, če sta po dve polosi enaki pa prostornine sferoidov.

Glej tudi

• krogla
• sfera
• sferoid

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Ellipsoid«. MathWorld.
• Animacija (angleško)