Razsežnostna analiza

Razsežnostna analiza (tudi dimenzijska analiza) je orodje s katerim si v fiziki, kemiji, tehniki in delno v ekonomiji pomagamo razumeti lastnosti in obliko fizikalnih količin. S pomočjo razsežnostne analize število spremenljivk zmanjšamo na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem poenostavimo problem.

Velikost vsake fizikalne količine lahko opišemo kot kombinacijo osnovnih merskih enot, ki določajo dolžino, maso, čas, naboj in temperaturo, ki jih imenujemo razsežnosti (prava razsežnost pripada samo dolžini -prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot označujemo z M, L, T, Q in Θ. Tako n. pr. za hitrost, ki jo lahko merimo v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost L/T ali LT ^-1. Podobno lahko razsežnot sile napišemo kot ML/T ².

Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnot, kilogram pa je merska enota z dimenzijo mase (oznaka M).

Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah

V fizikalnih količinah uporabljamo naslednje osnovne razsežnosti:

količina	oznaka razsežnosti
dolžina	$L\,$
masa	$M\,$
čas	$T\,$
naboj	$Q\,$
temperatura	$\Theta \,$
množina snovi	$mol\,$
svetilnost	$cd\,$

Nekatere fizikalne količine iz mehanike in njihove razsežnosti

fizikalna količina	oznaka	enota	izraz za razsežnost
masa	$m\,$	kg	$M$
dolžina	$l\,$, $b\,$, $h\,$	m	$L$
čas	$t\,$	s	$T$
frekvenca	$\nu \,$	Hz ( =1/s)	$T^{-1}$
kotna hitrost	$\omega \,$	1/s	$T^{-1}$
hitrost	$v\,$	m/s	$L\cdot T^{-1}$
pospešek	$a\,$	m/s²	$L\cdot T^{-2}$
gibalna količina	$p\,$	m kg/s	$M\cdot L\cdot T^{-1}$
gostota	$\rho \,$	kg/m³	$M\cdot L^{-3}$
sila	$F\,$	N ( = kg •m/s²)	$M\cdot L\cdot T^{-2}$
specifična teža	$\sigma \,$	N/m³	$M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}$
tlak, nateg	$p\,$	N/m²	$M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}$
modul elastičnosti	$E\,$	N/m²	$M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}$
energija	$W\,$	J ( = m²•kg/s²)	$M\cdot L^{2}\cdot T^{-2}$
moč	$P\,$	W ( = m²•kg/s³)	$M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}$
dinamična viskoznost	$\eta \,$	N•s/m²	$M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}$
kinematična viskoznost	$\nu \,$	m²/s	$L^{2}\cdot T^{-1}$

Izvedba analize razsežnosti

Analiza razsežnosti se izvaja na osnovi Buckinghamovega π izreka.

Analiza se izvaja v več korakih.

• 1. korak

Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavimo, da je neodvisna spremenljivka $N\,$ odvisna od $n\,$ spremenljivk, ki jih označimo s $q\,$.

$N=f(q_{1},\ldots ,q_{n})\,$.

Določimo tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko $N\,$. To število označimo z $m\,$. Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot

$f(q_{1},\ldots ,q_{n})-N=0\,$

To lahko v skladu s Buckinhamovim π izrekom zapišemo kot

$f(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n-m})\,$

kjer so

• $\pi _{i}\,$ brezdimenzijske količine

To pomeni, da je

$\pi _{1}=q_{1}^{m_{1}}q_{2}^{m_{2}}\ldots \,$

$\pi _{2}=q_{1}^{m_{1}}q_{2}^{m_{2}}\ldots \,$

….

kjer so $m_{1}\,$, $m_{2}\,$ … racionalna števila.
Skupaj imamo $n-m\,$ enačb.

• 2. korak

Na levi strani enačb imamo brezdimenzijske količine (posamezni $\pi \,$). To pomeni, da imajo vse razsežnosti stopnjo potence ˙(eksponent) enako 0.

• 3. korak

Zamenjajmo vse količine, ki nastopajo v enačbah za $\pi \,$ z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimo izraze za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake.

• 4. korak

Tako dobimo sistem enačb, ki ga moramo rešiti. Z rešitvijo enačb v resnici dobimo vrednosti za $m_{1}\,$, $m_{2}\,$ itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk $q_{n}\,$ v analiziranem izrazu za fizikalno količino.

Primer

Kot primer vzemimo nihalo brez trenja (matematično nihalo), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5°. Dolžina nihala je enaka $l\,$, masa nihala je enaka $m\,$, težni pospešek označimo z $g\,$

Za matematično nihalo velja

$f(T,M,L,g)=0\,$

V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki ga označimo s $\pi \,$, ki je enak:

$\Pi =l^{x_{1}}\cdot g^{x_{2}}\cdot m^{x_{3}}\cdot t^{x_{4}}$

Vrednost za π je brez dimenzije. Zamenjajmo posamezne količine z izrazi za razsežnost in dobimo

$L^{x_{1}}\cdot (L/{T^{2}})^{x_{2}}\cdot M^{x_{3}}\cdot T^{x_{4}}$

Iz tega dobimo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti eksponent enak nič)

za dolžino L: $x_{1}+x_{2}\;=\;0$

za maso M: $x_{3}\;=\;0$

za čas T: $-2\cdot x_{2}+x_{4}=0$

Za rešitve sistema enačb dobimo
$x_{4}=1\,$,
$x_{2}=1/2\,$,
$x_{1}=-1/2\,$,
$x_{3}=0\,$

To nam za $\pi \,$ da vrednost

$\Pi ={\sqrt {g/l}}\cdot m^{0}\cdot t={\sqrt {g/l}}\cdot t$

oziroma

${\sqrt {g/l}}\cdot t=const$

Pravi izraz za nihajni čas matematičnega nihala pa je

$t=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {l/g}}$

Zunanje povezave

• Pregled razsežnosti fizikalnih količin (angleško)
• Opis razsežnostne analize (angleško)
• Primeri razsežnostne analize (angleško)
• Uporaba razsežnostne analize (angleško)
• Opis razsežnostne analize (angleško)