Nesimetrična normalna porazdelitev

Nesimetrična normalna porazdelitev (tudi asimetrična normalna porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki posplošuje normalno porazdelitev tako, da je možen koeficient simetrije, ki je različen od nič.

Nesimetrična normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev.
oznaka	$SN(\xi ,\omega ,\alpha )\!$ tudi $Skew-Normal(\xi ,\omega ,\alpha )\!$
parametri	$\xi \,$ parameter lokacije (realno število) $\omega \,$ parameter merila (pozitivno realno število) $\alpha \,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$ $T(h,a)$ je Owenova T funkcija glej tudi definicijo na levi strani
pričakovana vrednost	$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ kjer je $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$
mediana
modus
varianca	$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$
simetrija	${\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}$
sploščenost	$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$
karakteristična funkcija	$\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)(1+i\,\mathrm {erf} ({\frac {\sigma \delta t}{\sqrt {2}}}))$

Definicija

Označimo s $\phi (x)\!$ funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

tako, da je zbirna funkcija verjetnosti dana z

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+{\text{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].\!$, potem je funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev s parametrom $\alpha \!$ enaka

$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$.

Pri tem je

• $\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\!$ Gaussova funkcija napake.

Lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev je

${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$

kjer je

• $T(h,a)\!$ Owenova T funkcija.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Varianca

Varianca je

$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$.

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$

kjer je

• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Funkcija generiranja momemntov

Funkcija generiranja momentov je enaka

$2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$

kjer je

• $\Phi (\omega \delta t)\!$ zbirna funkcija verjetnosti (glej zgoraj)
• $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\alpha =0\!$ nesimetrije ni več in dobimo običajno normalno porazdelitev.
• Kadar je $\alpha \to \infty \!$ dobimo polnormalno porazdelitev

Zunanje povezave

• Simulacija nesimetrične normalne porazdelitve (angleško)
• Opis in lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev