Negativna binomska porazdelitev

Negativna binomska porazdelitev (vključno s Pascalovo porazdelitvijo in Pólyajevo porazdelitvijo) je diskretna verjetnostna porazdelitev neuspešnih Bernoullijevih poskusov (dva možna izida: uspešno in neuspešno ali da in ne), v katerih želimo dobiti vnaprej dano število uspehov.

Negativno binomsko porazdelitev poznamo v dveh verzijah (glej pregled lastnosti porazdelitve na desni strani):

  • v prvi verziji štejemo število neuspehov pred r-tim uspehom
  • v drugi verziji pa štejemo število poskusov v katerih se zgodi r-ti uspeh
Negativna binomska porazdelitev
Negative binomial sl.svg
Rdeča črta pomeni srednjo (pričakovano) vrednost, zelena črta je približno 2σ.
oznaka
parametri (realno število)
(realno število)
(realno število)
(celo število)
interval
funkcija verjetnosti
(pdf)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
kjer je regulirana nepopolna funkcija beta
pričakovana vrednost
mediana
modus
varianca
simetrija
sploščenost
(eksces)
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija
Opomba: Število neuspehov pred r-tim uspehom (1. verzija) Število poskusov, ki so potrebni,
da dobimo r uspehov (2. verzija)


Predpostavimo, da smo izvedli k poskusov. Verjetnost za uspeh (označimo jo s p) je ista pri vsakem poskusu. izid enega poskusa ne vpliva na izid ostalih poskusov (neodvisni poskusi). Slučajna spremenljivka je v tem primeru število poskusov, da dobimo r uspehov (vnaprej določenih). Verjetnostna porazdelitev te slučajne spremenljivke se podreja negativni binomski porazdelitvi (poskus te vrste pa imenujemo tudi negativni binomski poskus).

Pascalova porazdelitev in Polyajeva porazdelitev sta poseben primer negativne binomske porazdelitve. Nekateri pa negativno binomsko porazdelitev imenujejo kar Pascalova ali Polyajeva porazdelitev.

PrimerUredi

Kot primer si oglejmo metanje kovanca, ki lahko pade na glavo ali številko (stran kovanca, ki je zgoraj, in se vidi). Verjetnost je za obe strani enaka (p = 0,5). Recimo, da je uspeh, če pade na glavo. Štejemo padce kovanca na glavo. Poskus ponavljamo tako dolgo, da dobimo na primer 5 padcev kovanca na glavo. Število poskusov metanja kovanca k je lahko katerokoli celo število med r in pozitivno neskončno vrednostjo   za prvo verzijo oziroma  .

LastnostiUredi

Funkcija verjetnostiUredi

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko za slučajno spremenljivko Y zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

 

kjer je  

Če pa z Y označimo slučajno spremenljivko za Y = X – r neuspehov pred r-tim uspehom je

 


Zbirna funkcija verjetnostiUredi

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko za prvo verzijo zapišemo kot   je regulirana nepopolna funkcija beta ali   za drugo verzijo porazdelitve.

Pričakovana vrednostUredi

Pričakovana vrednost je enaka   za prvo oziroma   za drugo verzijo porazdelitve.

VariancaUredi

Varianca je enaka  za obe verziji porazdelitve.

Koeficient simetrijeUredi

Koeficient simetrije je enak   za obe verziji porazdelitve.

SploščenostUredi

Sploščenost je enaka   za prvo verzijo,   pa za drugo verzijo porazdelitve.

Povezave z drugimi porazdelitvamiUredi

Geometrijska porazdelitevUredi

Kadar je r = 1, preide negativna binomska porazdelitev v geometrijsko porazdelitev:

 .

Poissonova porazdelitevUredi

Negativna binomska porazdelitev prehaja v Poissonovo porazdelitev v naslednjem primeru:

 .

Glej tudiUredi


Zunanje povezaveUredi