Katenoid

Katenoid (iz latinske besede catena, kar pomeni veriga) je trirazsežna ploskev, ki se nastane z vrtenjem verižnice okrog osi z.

Katenoid

Animacija, ki kaže spremembo helikoida v katenoid.

Fizični model katenoida, ki se ga je dobilo s pomočjo dveh obročev, potopljenih v milnico. Po dvigu obročev iz milnice se obroča počasi razmika.

Katenoid je prva odkrita minimalna ploskev. Odkril jo je leta 1741 švicarski matematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707 – 1783). Da je katenoid minimalna ploskev, je leta 1776 dokazal tudi Mongeev učenec Jean Baptiste Meusnier. Znani sta samo dve minimalni ploskvi: to sta ravnina in katenoid. Katenoid je tudi edina minimalna ploskev, ki nastane z vrtenjem neke krivulje.

Katenoid se lahko definira z naslednjimi tremi parametričnimi enačbami:

$x(u,v)=c\operatorname {ch} \,{\frac {v}{c}}\cos u\!\,,$

$y(u,v)=c\operatorname {ch} \,{\frac {v}{c}}\sin u\!\,,$

$z(u,v)=v\!\,,$

kjer je:

• $u\,$ realni parameter
• $v\,$ realni parameter
• $c\,$ neničelna realna konstanta
• $\operatorname {ch} \,(u)$ hiperbolični kosinus
• $\cos(u)\,$ trigonometrična funkcija kosinus
• $\sin(u)\,$ trigonometrična funkcija sinus

V cilindričnih koordinatah je to:

$\rho =c\operatorname {ch} \,{\frac {z}{c}}\!\,,$

kjer je:

• $c\,$ neničelna realna konstanta

Katenoid nastane tudi iz helikoida brez raztegovanja (glej animacijo na desni).

Viri

• Euler, Leonhard (1969). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propietate gaudeates sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Zunanje povezave

• Verižnica in katenoid (slovensko)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Catenoid«. MathWorld.
• Različne oblike katenoidov Arhivirano 2011-08-06 na Wayback Machine. (angleško)
• Spreminjanje katenoida v helikoid (z animacijo) Arhivirano 2010-07-21 na Wayback Machine. (angleško)