Hinčinova konstanta

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila enaka ne glede na vrednost .

Za poljubno realno število:

skoraj vedno velja:

kjer je Hinčinova konstanta:[1][2]

(zaporedje A002210 v OEIS),

kjer je dvojiški logaritem.

To značilnost verižnih ulomkov je leta 1933 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.[3][4][5]

Realna števila, za katere ta značilnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza Φ) in osnovo naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta značilnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je racionalno, algebrsko iracionalno ali transcendentno število.

Neskončni verižni ulomek Hinčinove konstante je (zaporedje A002211 v OEIS) :

Razvoj v vrstoUredi

Hinčinovo konstanto se lahko izrazi z racionalno vrsto ζ v obliki:

 

ali:

 

kjer je   fiksno celo število in   Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se   za velike   hitro približuje 0. Razvoj se lahko poda tudi s funkcijo dilogaritma:

 

Hölderjeva sredinaUredi

Hinčinova konstanta je prva v nizu Hölderjevih sredin izrazov verižnih ulomkov. Če je dana poljubna vrsta  , je Hölderjeva sredina reda   dana kot:

 

Ko so   členi razvojaa v verižni ulomek, so konstante dane z:

 

To sledi, če se uporabi p-ta sredina v povezavi z Gauss-Kuzminovo porazdelitvijo. Vrednost Hinčinove konstante   izhaja iz limite  .

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

  • Bailey, David H.; Borwein, Jonathan Michael; Crandall, Richard E. (1997), "On the Khinchine constant" (PDF), Math. Comp., 66 (217): 417–431, doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4, MR 1377659
  • Borwein, Jonathan Michael; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000), "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF), J. Comp. App. Math., 121 (1–2): 247–296, doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8
  • Cellarosi, Francesco; Hensley, Doug; Miller, Steven J.; Wellens, Jake L. (2014), Continued fraction digit averages an Maclaurin's inequalities, arXiv:1402.0208
  • Hinčin, Aleksander Jakovljevič (1936), "Zur metrischen kettenbruchtheorie", Compositio Mathematica, 3: 275–286
  • Ryll-Nardzewski, Czesław (1951), "On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)", Studia Mathematica, 12: 74–79
  • Wieting, Thomas (2008), "A Khinchin Sequence", Proc. Amer. Math. Soc., 136 (3): 815–824, MR 2361853
  • Wolf, Marek (2010), Continued fractions constructed from prime numbers, arXiv:1003.4015
  • Wolf, Marek (2013), "Computer experiments with Mersenne primes", Computational Methods in Science and Technology, 19 (3): 157–165, arXiv:1112.2412, doi:10.12921/cmst.2013.19.03.157-165

Zunanje povezaveUredi