Heronski trikotnik

Herónski trikótnik je v geometriji trikotnik, katerega dolžine stranic in ploščina so vsa cela števila. Imenujejo se po Heronu. Izraz se včasih rabi širše za trikotnike, katerih dolžine stranic in ploščine so vsa racionalna števila.

Značilnosti

Vsak pravokotni trikotnik, katerega dolžine stranic so pitagorejske trojice, je heronski, saj so dolžine stranic takšnih trikotnikov cela števila, kot tudi njihova ploščina, ki je enaka polovici produkta dveh krajših stranic trikotnika, od katerih mora vsaj ena biti soda.

Trikotnik s stranicami c, e in b + d, in višino a.

Zgled heronskega trikotnika, ki ni pravokotni, je trikotnik z dolžinami stranic 5, 5 in 6, katerega ploščina je enaka 12. Ta trikotnik nastane z združitvijo dveh kopij pravokotnih trikotnikov z dolžinami stranic 3, 4 in 5 vzdolž stranic z dolžino 4. Takšen pristop v splošnem deluje, kot je razvidno na sliki. Vzame se pitagorejska trojica (a, b, c), kjer je največji c, nato druga trojica (a, d, e), kjer je največji e, se skonstruirata trikotnika in se združita vzdolž stranic z dolžino a. Nastane trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic c, e in b + d in ploščino:

$p={\frac {1}{2}}(b+d)a\!\,$ (ena polovica krat osnovnica krat višina).

Če je a sod, je ploščina p celo število. Če je a lih, je p še vedno celo število, saj morata biti b in d oba soda, tako da je tudi njuna vsota b+d soda.

Zanimivo vprašanje je ali lahko vsi heronski trikotniki nastanejo z združitvijo dveh pravokotnih trikotnikov s celoštevilskimi dolžinami stranic, kot je opisano zgoraj. Odgovor je negativen. Heronski trikotnik z dolžinami stranic 5, 29 in 30, ter ploščino 72, se ne da skonstruirati iz dveh celoštevilskih pitagorejskih trikotnikov, ker nobena od njegovih višin ni celo število. Takšni heronski trikotniki so nesestavljivi (in-decomposable). Če pa se dovoli racionalne pitagorejske trojice, ki niso nujno cela števila, je odgovor pritrdilen, saj je vsaka višina heronskega trikotnika racionalna, ker je enaka dvakratniku celoštevilske ploščine deljenemu s celoštevilsko osnovnico. Heronski trikotnik z dolžinami stranic 5, 29 in 30 se lahko skonstruira iz racionalnih pitagorejskih trikotnikov z dolžinami stranic 7/5, 24/5, 5 in 143/5, 24/5, 29. Pri tem je pitagorejska trojica z racionalnimi vrednostmi samo povečana trojica s celoštevilskimi vrednostmi.

Izrek o sestavljivosti

Vsak heronski trikotnik se lahko sestavi iz dveh pravokotnih trikotnikov, katerih dolžine stranic so racionalne pitagorejske trojice.

Dokaz izreka

Po sliki na desni so c, e, b + d in ploščina trikotnika p cela števila. Predpostavi se, da je b + d večja ali enaka c in e, tako da višina na to stranico leži pravokotno nanjo znotraj trikotnika. Da sta trojici (a, b, c) in (a, d, e) racionalni pitagorejski trojici, je dovolj dokazati, da so dolžine a, b in d racionalne.

Ker je ploščina trikotnika enaka:

$p={\frac {1}{2}}(b+d)a\!\,,$

se dobi odtod dolžino a:

$a={\frac {2p}{b+d}}\!\,,$

ki je racionalna, saj sta $p$ in $b+d$ celi števili. Treba je pokazati še, da sta dolžini b in d racionalni.

Iz Pitagorovega izreka za oba pravokotna trikotnika sledi:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$

in:

$a^{2}+d^{2}=e^{2}\!\,.$

Enačbi se odšteje in se dobi:

$b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\!\,,$

$\Rightarrow (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}\!\,,$

$\Rightarrow b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}\!\,.$

Predpostavilo se je, da so dolžine c, e in b + d cela števila. Zaradi tega je razlika dolžin b − d racionalna in zato sta dolžini:

$b={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}\!\,,$

$d={\frac {(b+d)-(b-d)}{2}}\!\,$

obe racionalni. Q.E.D.

Eksaktne formule za heronske trikotnike

Vsak heronski trikotnik ima dolžine stranic sorazmerne z:

$a=n(m^{2}+k^{2})\!\,$

$b=m(n^{2}+k^{2})\!\,$

$c=(m+n)(mn-k^{2})\!\,$

$s=(a+b+c)/2=mn(m+n)\!\,$

$p=mnk(m+n)(mn-k^{2})\!\,$

$r=k(mn-k^{2})\!\,$

$s-a=n(mn-k^{2})\!\,$

$s-b=m(mn-k^{2})\!\,$

$s-c=(m+n)k^{2}\!\,$

za cela števila m, n in k, kjer je:

$\operatorname {D} (m,n,k)=1\!\,$

$mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)\!\,$

$m\geq n\geq 1\!\,$

in s polobseg, r polmer včrtane krožnice.

Sorazmernostni faktor je v splošnem racionalno število  ${\frac {t}{q}}$ , kjer  $q=\operatorname {D} (a,b,c)$  privede nastali heronski trikotnik na njegovo primitivno obliko,  $t$  pa umeri to primitivno obliko na ustrezno velikost. Če se na primer vzame m = 36, n = 4 in k = 3, se dobi trikotnik z a = 5220, b = 900 in c = 5400, kar je enako heronskemu trikotniku 5, 29, 30, sorazmernostni faktor pa ima t = 1 in q = 180.

Zgledi

Seznam prvih nekaj primitivnih celoštevilskih heronskih trikotnikov podaja naslednja razpredelnica. Razvrščen je glede na ploščino. Če je enaka, pa glede na obseg. »Primitiven« pomeni, da je največji skupni delitelj vseh treh dolžin stranic enak 1 ($\operatorname {D} (b+d,c,e)=1\!\,$)

ploščina	obseg	b + d	e	c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Enakolični trikotniki

Geometrijski lik je enakoličen (equable), če je njegova ploščina enaka njegovemu obsegu. Obstaja točno pet enakoličnih heronskih trikotnikov z dolžinami stranic: (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) in (9,10,17). Od teh petih sta le prva dva tudi pitagorejska.

Skoraj enakostranični heronski trikotniki

Ker je ploščina enakostraničnega trikotnika z racionalnimi dolžinami stranic iracionalno število, noben enakostranični trikotnik ni heronski. Obstaja pa enolično zaporedje heronskih trikotnikov, ki so »skoraj enakostranični«, ker so njihove dolžine stranic oblike n − 1, n, n + 1. Prvih nekaj zgledov takšnih trikotnikov podaja naslednja razpredelnica (OEIS A003500):

dolžina stranice			ploščina p	polmer včrtane krožnice r
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Nadaljnje vrednost za n se lahko najde z množenjem predhodne vrednosti s 4, nato pa se odšteje njeno predhodno vrednost (52 = 4 · 14 − 4, 194 = 4 · 52 − 14, itd.), tako da je:

$n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\!\,,$

kjer t označuje katerokoli vrstico v razpredelnici. To je Lucasovo zaporedje. Podobno da vse n formula $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$. Velja tudi enakovredno:

${\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6nr)^{2}=(4p)^{2}\!\,,$

kjer je r polmer včrtane krožnice, p ploščina, {n, r} pa so rešitve enačbe n² − 12r² = 4. Majhna transformacija n = 2x da običajno Pellovo enačbo x² − 3r² = 1. Njene rešitve se lahko izpeljejo iz navadnega verižnega ulomka za √3.

Spremenljivka n ima obliko $n={\sqrt {2+2k}}$, kjer je k enak 7, 97, 1351, 18817, ... Števila v tem zaporedju imajo značilnost, da je standardni odklon k zaporednih celih števil celo število. (OEIS A011943).

Glej tudi

• celoštevilski trikotnik
• heronski tetraeder
• Brahmaguptov štirikotnik
• Robbinsov petkotnik

Viri

• Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (Januar 1998), »The Brahmagupta Triangles« (PDF), College Math Journal, 29 (1): 13–17
• Carlson, John R. (1970), »Determination of Heronian Triangles« (PDF), Fibonacci Quarterly, 8: 499–506
• Carmichael, Robert Daniel (1914), »Diophantine Analysis«, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover
• Dickson, Leonard Eugene (2005), History of the Theory of Numbers, Volume Il: Diophantine Analysis, Courier Dover Publications, ISBN 9780486442334
• Markowitz, L. (1981), »Area = Perimeter«, The Mathematics Teacher, 74 (3): 222–3, Zbl 1982d.06561 {{citation}}: Preveri vrednost |zbl= (pomoč)
• Richardson, William H. (2007), Super-Heronian Triangles (v angleščini)
• Sierpiński, Wacław Franciszek (2003) [1962], Pythagorean Triangles, Dover, ISBN 978-0-486-43278-6
• Yiu, Paul (2008), Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles (PDF), 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 2. maja 2013, pridobljeno 13. januarja 2014

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Heronian Triangle«. MathWorld.