Antikomutativnost

posebna značilnost nekaterih nekomutativnih matematičnih operacij

Ántikomutatívnost je v matematiki posebna značilnost nekaterih nekomutativnih matematičnih operacij. Zamenjava lege dveh argumentov antisimetrične operacije daje rezultat, ki je obraten rezultatu z nezamenjanima argumentoma. Pojem obratno (inverzno) se nanaša na strukturo grupe na kodomeni operacije, po možnosti z drugo operacijo. Odštevanje je antikomutativna dvočlena operacija, ker komutacija operandov da . Na primer 2 − 10 = −(10 − 2) = −8.

Drug pomemben zgled antikomutativne operacije je Liejev oklepaj v Liejevi algebri. Liejeva algebra je algebra nad poljem, kjer se operacija množenja sedaj imenuje Liejev oklepaj in ima dve dodatni značilnosti: je izmenična dvočlena preslikava in zadošča Jacobijevi enakosti. Liejev oklepaj dveh vektorjev in se označuje kot . Ni treba da je asociativen, kar pomeni, da je Liejeva algebra lahko neasociativna. Glede na dano asociativno algebro (kot na primer prostor kvadratnih matrik) je Liejev oklepaj lahko in je pogosto definiran prek komutatorja. Določitev pravilno definira Liejev oklepaj poleg že obstoječe operacije množenja.

V matematični fiziki, kjer je simetrija osrednjega pomena, se te operacije večinoma imenujejo antisimetrične operacije in so razširjene v asociativnem okolju, da zajamejo več kot dva argumenta.

Definicija

uredi

Za dve Abelovi grupi   in   je bilinearna preslikava   antikomutativna če za vse   velja:

 

V splošnem je multilinearna preslikava   antikomutativna, če za vse   velja:

 

kjer je   predznak permutacije  .

Značilnosti

uredi

Če Abelova grupa   nima 2-vzvoja, kar pomeni, da za   velja  , potem za vsako antikomutativno bilinearno preslikavo   velja:

 

Bolj splošno s transpozicijo dveh elementov za vsako antikomutativno multilinearno preslikavo   velja:

 

če je katerikoli od   enak – takšna preslikava je izmenična. Nasprotno pa je z uporabo multilinearnosti vsaka izmenična preslikava antikomutativna. V binarnem primeru to deluje na naslednji način: če je preslikava   izmenična, potem zaradi bilinearnosti velja:

 

Dokaz za multilinearni primer je enak, vendar le v dveh vnosih.

Zgledi

uredi

Med antikomutativne dvočlene operacije spadajo:

Glej tudi

uredi
  • Bourbaki, Nicolas (1989), »Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras«, Algebra. Chapters 1–3, (Elements of Mathematics) (2. tiskana izd.), Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001

Zunanje povezave

uredi