Zakon o električnem pretoku

Gaussov zakon o električnem pretoku, znotraj teorije vektorskih polj, trdi, da imajo vektorska polja električni pretok, skozi zaprto ploskev, ki je odvisen od nabojev, ki ustvarjajo električno polje, ne pa od njihove lokacije v sistemu.

Zakon bomo izrazili v integralski obliki, sicer bi ga lahko tudi v diferencialni, ki je z integralsko povezana z Ostrogadsky izrekom.

Opis

Intuitivno ideja je bila, da je pretok vedno enak, ne glede na zaprto površino, ki vsebuje izvor radialnega vektorskega polja, saj pri večanju razdalje $r$ površina poveča za $r^{2}$, jakost polja pa se zmanjšuje za $r^{-2}$ . Nespremenljivost pretoka je ravno ključ za Gausov zakon.

Posledice Gaussovega zakona na teorije fizike so izredno pomembne, saj zakon zadeva gravitacijska in električna polja: v prvem primeru je gravitacijski pretok skozi zaprto površino odvisen le od mase v njej, v drugem pa je električni pretok skozi zaprto površino odvisen od električnega naboja v njej.

Integralska oblika

Naj bo $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ vektorsko polje, definirano kot:

$\mathbf {F} =F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$,

kjer je $F_{1}$ konstanten v $\mathbf {r}$, krajevni vektor, ki na splošno pripada $\mathbb {R} ^{3}$ .

Razpolagamo z zaprto površino $\partial V$, ki vsebuje izvor polja in je taka, da vsak poltrak, ki izhaja iz izvora polja, seka zaprto površino samo enkrat. V tem primeru Gaussov zakon trdi sledeče:

$\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )=4\pi F_{1}$,

kjer je $\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )$ pretok $\mathbf {F}$ pod prostorskim kotom $4\pi$.

Dokaz

Razpolagamo z virom energije $q$ v prostornini $V$, ki jo omejuje površina $\partial V$. Polje $F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$ , ki se je ustvarilo z virom energije ustvarilo, oblikuje, z elementom ${\mbox{d}}S$ na površini $\partial V$ kot $\theta$, tako da:

$(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S={\frac {F_{1}\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S$

kjer je $\mathbf {n}$ enotski vektor na podlago.

Ker je prostorski kot, ki ga obravnavamo ${\mbox{d}}\Omega ={\frac {\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S$, potem:

$(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}{\mbox{d}}\Omega$

Pretok skozi površino $\partial V$ je torej:

$\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )=\int _{\partial V}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}\int _{V}{\mbox{d}}\Omega$,

pri čemer je integral prostorskega kota enak $4\pi$.

Bibliografija

• Mencuccini, Corrado (2010). Fisica II. Napoli: Liguori Editore. ISBN 978-88-207-1633-2.
• John D Jackson (1999). Classical Electrodynamics (3 izd.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Zunanje povezave

• Vektorsko polje
• Električno polje
• Magnetno polje
• Coulombov zakon
• Gostota električnega polja
• Elektromagnetna interakcija
• Težnost
• Površina (matematika)