Središčni binomski koeficient

n-ti središčni binomski koeficient je v matematiki določen z binomskim koeficientom kot:

Tu je n! funkcija fakulteta in n!! dvojna fakulteta. Binomski koeficienti se imenujejo središčni (centralni), ker se pojavljajo točno na sredi sodih vrstic v Pascalovem trikotniku:

                                       
                                     
                                   
                                 
                               
                             
                           
                         
                       
                     
                   

Prve vrednosti središčnih binomskih koeficientov za n ≥ 0 so (zaporedje A000984 v OEIS):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, ... .

V Pascalovi matriki se pojavljajo po njeni diagonali:

ZnačilnostiUredi

Za središčne binomske koeficiente velja rodovna funkcija:

 ,

Wallisov produkt se lahko zapiše v asimptotični obliki za središčni binomski koeficient:

 

Zadnji izraz se lahko preprosto izpelje s pomočjo Stirlingove formule. Lahko se na drugi strani uporabi za določitev konstante   pred Stirlingovo formulo s primerjavo.

Enostavni meji sta dani z:

 

Boljši meji sta:

 

in, če je potrebna še večja točnost:

 

kjer je:

 

Edini lihi središčni binomski koeficient je 1.[1]

Sorodna zaporedjaUredi

Sorodna Catalanova števila Cn so dana z:

 

Preprosta posplošitev središčnih binomskih koeficientov je dana kot:

 

z odgovarjajočimi realnimi števili n, kjer je   funkcija gama in   funkcija beta.

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

  • Banakh, Iryna; Banakh, Taras; Trisch, Pavel; Vovk, Myroslava (2012), Toehold Purchase Problem: A comparative analysis of two strategies, arXiv:1204.2065
  • Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, COBISS 62943745, ISBN 978-0-19533-454-8

Zunanje povezaveUredi