Primoriela

celo število kot produkt prvih n praštevil

Primoriela (angleško primorial) je v matematiki in še posebej v teoriji števil funkcija naravnih števil v naravna števila podobno kot funkcija fakultete. Namesto množenja zaporednih pozitivnih celih števil se množijo zaporedna praštevila.

kot funkcija v logaritemskem grafu
kot funkcija (rdeče pike) v primerjavi z v logaritemskem grafu

Obstajata dve nasprotujoči definiciji primoriel, ki se razlikujeta v tolmačenju argumenta:

  • prva definicja tolmači argument kot indeks členov zaporedja praštevil, tako da je funkcija strogo naraščajoča,
  • druga definicija tolmači argument kot mejo praštevil, ki jih je treba pomnožiti, tako da vrednost funkcije pri poljubnem sestavljenem številu enaka kot pri predhodniku. Preostanek članka uporablja drugo definicijo.

Ime »primoriela« pripisujejo ameriškemu inženirju in matematiku Harveyju Dubnerju in je podobna analogiji s praštevili (primes) na enak način kot je ime »fakulteta« (»faktoriela«) povezana s faktorji.

Definicija za praštevilaUredi

Za n-to praštevilo   je primoriela   definirana kot produkt prvih   praštevil:[1][2]

 

kjer je   k-to praštevilo.

  na primer označuje produkt prvih 5 praštevil:

 

Prve primoriele   za   so (OEIS A002110):

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, ...

Zaporedje vsebuje tudi   kot prazni produkt, ki je po dogovoru enak 0.

Asimptotično primoriele   naraščajo kot:

 

kjer je   Landauov simbol.[2]

Definicija za naravna številaUredi

V splošnem se lahko za pozitivno celo število   tudi definira takšna primoriela   kot produkt tistih praštevil  :[1][3]

 

kjer je   funkcija števila praštevil (OEIS A000720), ki podaja število praštevil  .

To je enakovredno:

 

12# na primer predstavlja produkt tistih praštevil  :

 

Ker je  , se to lahko izračuna kot:

 

Prve primoriele   za   so (OEIS A034386):

1, 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, ...

Zaporedje vsebuje tudi   in  .

Vidi se, da je za sestavljeno število   vsak člen   podvojen predhodni člen  , kot je podano z definicijo. V zgornjem zgledu velja  , ker je 12 sestavljeno število.

Naravni logaritem funkcije   je prva funkcija Čebišova, zapisana kot   ali  , ki se za velike   linearno približuje  .[4]

Primoriele   naraščajo kot:

 

Zamisel o množenju vse znanih praštevil se pojavlja v nekaterih dokazih za neskončno število praštevil, kjer se uporabi za izpeljavo obstoja drugega praštevila.

Uporabe in značilnostiUredi

Primoriele se uporabljajo pri iskanju praštevil v aditivnih aritmtičnih zaporedjih. 2236133941 + 23# je na primer praštevilo in začenja zaporedje trinajstih praštevil, najdenih z zaporednim prištevanjem števila 23#. To zaporedje se konča s številom 5136341251. 23# je tudi skupna razlika v aritmetičnih zaporedjih petnajstih in šestnajstih praštevil.

Vsako zelo estavljeno število je produkt primoriel (na primer število 360 = 2 · 6 · 30).[5]

Primoriele so nekvadratna cela števila in vsaka ima več različnih prafaktorjev kot katerokoli število manjše od nje. Za vsako primorielo   je ulomek   manjši kot za katerokoli manjše celo število. Tu je   Eulerjeva funkcija φ.

Vsaka popolnoma multiplikativna funkcija je definirana s svojimi vrednostmi pri primorielah, ker je definirana s svojimi vrednostmi pri praštevilih, kar se lahko izpelje z deljenjem sosednjih vrednosti.

Sistemi z bazami, ki odgovarjajo primorielam (kot na primer baza 30, kar se ne sme zamenjevati z primorielnim številskim sistemom), imajo manjše razmerje periodičnih ulomkov kot katerakoli manjša baza.

Vsaka primoriela je redko totientno število.[6]

Vsoti neskončnih vrst obratnih vrednosti primoriel obeh vrst konvergirata in sta enaki konstantama:

  (OEIS A249270),
  (OEIS A064648).

PojavaUredi

Riemannova funkcija ζ za pozitivna cela števila večja od 1 se lahko izrazi s pomočjo primoriel in Jordanovo funkcijo   kot:[7]

 

Razpredelnica prvih primorielUredi

       
0 1 brez praštevila 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410
16 30030 53 32589158477190044730
17 510510 59 1922760350154212639070
18 510510 61 117288381359406970983270
19 9699690 67 7858321551080267055879090
20 9699690 71 557940830126698960967415390

Neskončni verižni ulomekUredi

Konstanti neskončnih verižnih ulomkov primoriel obeh vrst sta:

 
 

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. 1,0 1,1 Weisstein, Eric W. "Primorial". MathWorld.
  2. 2,0 2,1 (OEIS A002110)
  3. (OEIS A034386)
  4. Weisstein, Eric W. "Chebyshev Functions". MathWorld.
  5. (OEIS A002182), Highly composite numbers.
  6. Masser; Shiu (1986).
  7. Mező (2013).

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi