O notacija

Primer notacije O: f(x) ∈ O(g(x)) za c > 0 (e.g. c = 1) in x0 (e.g. x0 = 5) tako, da je f(x) < cg(x) kadar je x > x0.

O notacija (tudi notacija veliki O) se v matematiki uporablja za opisovanje limitnega obnašanja funkcije, ko argument gre proti določeni vrednosti ali neskončnosti. Ta notacija pripada večji družini notacij, ki jih imenujemo Landauova notacija, Bachmann-Landauova notacija (imenovana po Edmundu Landau (1877 – 1938) in Paulu Bachmannu (1837 - 1920)) ali asimptotska notacija.

V računalništvu se notacija O uporablja za razvrščanje algoritmov po tem kako se odzivajo na spremembe v velikosti vhoda.

DefinicijaUredi

Naj bosta f(x) in g(x) dve funkciji, ki sta definirani nad neko podmnožico realnih števil. Lahko zapišemo :

 

Če in samo, če obstoja pozitivna konstanta M tako, da je za vse dovolj velike vrednosti x , je f(x) kvečjemu z M pomnožen z g(x) v absolutno vrednost. To je f(x) = O(g(x)) samo, če in samo če obstoja pozitivno realno število M in realno število x0, da velja

 .

V mnogih primerih je predpostavka, da nas zanima samo stopnja rasti ko gre x proti neskončnosti, neveljavna. Običajno zapišemo f(x) = O(g(x)). Označevanje se lahko uporabi za prikaz obnašanja funkcije f blizu nekega realnega števila (pogosto okoli a=0). Lahko zapišemo, da je

 

če in samo, če obstoja takšni pozitivni števili δ in M, da velja

 .

Če je g(x) neničelen za vrednosti dovolj blizu vrednosti a se lahko obe od teh definicij združita z uporabo zgornje in spodnje limite

 

če in samo, če je

 .

Skupina Bachmann-Landauovih notacijUredi

notacija ime opis definicija: za dovolj velike  ... definicija opombe
  veliki omikron; veliki O; veliki Oh   je omejena zgoraj z   (do konstantnega faktorja) asimptotično   za neki k  
ali
 
  veliki omega   je omejen spodaj z   (do konstatnega faktorja) asimptotično   za pozitivni k   od začetka 20. stoletja so dokumenti o teoriji števil so stalno bolj uporabljali to notacijo, vendar z občutkom, da je f = o(g) napačno.
  veliki theta   je omejen zgoraj in spodaj z   asimptotično   za neki pozitivni k1, k2  

 

  mali omikron; mali O; mali Oh   prevladuje   asimptotično   za vsak    
  mali omega   prevladuje   asimptotsko   za vsak k  
  On the order of   je enak   asimptotsko    

Bachmann–Landauova notacija uporablja nekaj mnemotehnik. Tako lahko preberemo "omikron" kot "o-mikron" in "omega" lahko preberemo kot "o-mega".

  • mnemotehnika za o-micron: Čitanje o-mikron   in   si lahko mislimo kot "O-manjši kot" in "o-manjši kot". Ta mnemotehnika micro/manjši se nanaša na dovolj velik vhodni parameter ali parametre,   raste po stopnji, ki je manjša kot   glede na   or  .
  • mnemotehnika za o-mega : Čitanje o-mega   in   si lahko mislimo kot "O-večji kot". Ta mnemotehnika mega/večji: se nanaša na dovolj velik vhodni parameter ali parametre,   raste po stopnji, ki je večja kot   glede na   ali  .
  • mnemotehnika za zgornji znak: Ta mnemotehnika nas spominja na to, kdaj uporabimo zgornje grške črke v   in  : za dovolj velik vhodni parameter ali parametre,   raste po stopnji, ki bi lahko bila enaka z   glede na  .
  • mnemotehnika za spodnji znak: Ta mnemotehnika nas spominja na to, kdaj moramo uporabiti male grške črke v   in  : za dovolj velik vhodni parameter ali parametre,   raste po stopnji, ki je neenaka z   glede na  .

Razen notacije O se v računalništvu uporablja še notacija z velikim teta (Θ) in velikim omega (Ω) . V računalništvu pa se zelo redko uporablja notacija z uporabo malega omega (ω).

Zunanje povezaveUredi