Izrek o povprečni vrednosti

Izrèk o povpréčni vrédnosti (tudi Lagrangeev izrèk ali izrèk o kônčnem prirástku fúnkcije) je v matematični analizi izrek, ki pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja točka, v kateri je odvod (nagib) krivulje enak »povprečnemu« odvodu intervala. Izrek se uporablja pri dokazovanju izrekov, ki obravnavajo funkcije na intervalu.

Za vsako funkcijo, ki je zvezna na [ab] in odvedljiva na (ab), obstaja neka točka c na odprtem intervalu (ab), da je sekanta, ki povezuje obe končni točki intervala [ab], vzporedna tangenti v c.

Povprečna vrednost integrabilne funkcije na intervalu je število:

Izrek lahko razumemo tudi s pomočjo gibanja. Če avtomobil prepotuje v eni uri 100 km in je njegova povprečna hitrost enaka 100 km/h, potem je morala biti v nekem trenutku njegova trenutna hitrost enaka natačno 100 km/h.

Izrek je prvi razvil Joseph-Louis de Lagrange in se imenuje tudi po njem.

Formalna izjavaUredi

Naj je funkcija   v zaprtem intervalu   zvezna in v odprtem intervalu   odvedljiva. Tedaj obstaja vsaj eno takšno število   med a in b, da je:

 

Če pišemo drugače,   in označimo s   število med 0 in 1:

 

Posplošitev Lagrangeevega izreka je Taylorjev izrek.

DokazUredi