Ekvivalenčna relacija
Ekvivalenčna relacija v matematiki je dvočlena relacija ~ (označena tudi kot ) v množici , če veljajo za poljubne elemente , in množice značilnosti:
- (zakon o povratnosti – refleksivnosti)
- (zakon o vzajemnosti – simetričnosti)
- (zakon o prehodnosti – tranzitivnosti)
Za vsako ekvivalenčno relacijo na množici , lahko množico razdelimo na disjunktne podmnožice, imenovane ekvivalenčni razredi. Ekvivalenčni razred elementa iz množice je množica vseh elementov, ki so v relaciji z , kar zapisujemo kot .
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
Za ekvivalenčno relacijo na množici velja:
- Če ni v relaciji z , potem je
- Vsak element množice pripada natanko enemu ekvivalenčnemu razredu.
![{\displaystyle aRb\Leftrightarrow [a]=[b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281e11ca195d9a57a4bcc777a68331d0162de290)
![{\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b189d4ea02037cb1fe844eb615d8d1586ce47ea4)
Zgledi ekvivalenčnih relacij
uredi- enakost (»=«), relacija enakosti med realnimi števili ali množicami,
- relacija »je kongruentno po modulu « med celimi števili,
- relacija »je podobno« med množico vseh trikotnikov,
- relacija »ima rojstni dan kot« med množico vseh ljudi,
- relacija »logične enakovrednosti« med stavki logike prvega reda,
- relacija »izomorfizma« med modeli množice stavkov,
- relacija ekvipolence med množicami.
