Lambertova vŕsta [lámbertova ~] je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil neskončna vrsta oblike:

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku, astronomu in filozofu Johannu Heinrichu Lambertu. Lahko se strne formalno z razvojem imenovalca:

kjer so koeficienti nove vrste dani z Dirichletovo konvolucijo koeficientov s konstantno funkcijo :

Ta vrsta se lahko obrne z Möbiusovo inverzno formulo in je zgled Möbiusove transformacije.

Zgledi

uredi

Ker je zadnja vsota tipična vsota teorije števil, bodo skoraj vse naravne multiplikativne funkcije eksaktno seštevljive pri uporabi v Lambertovi vrsti. Tako je na primer:

 

kjer je   funkcija števila pozitivnih deliteljev števila  .

Za funkcije deliteljev višjega reda je:

 

kjer je   poljubno kompleksno število,

 

pa je funkcija deliteljev.

Lambertovo vrsto v kateri so koeficienti   trigonometrične funkcije, na primer  , se lahko izračuna z različnimi kombinacijami logaritemskega odvoda Jacobijevih funkcij ϑ.

Druge Lambertove vrste so tudi za Möbiusovo funkcijo  :

 

Za Eulerjevo funkcijo  :

 

Za Liouvillovo funkcijo  :

 

kjer je vsota na levi podobna Ramanudžanovi funkciji ϑ.

Sorodno za alternirajočo vrsto oblike:

 

kjer je   število predstavitev   v obliki  , kjer sta   in   racionalni celi števili. Obakrat je   Jacobijeva eliptična funkcija izražena kot funkcija ϑ.

Alternativna oblika

uredi

Če se zamenja spremenljivka  , se dobi druga običajna oblika za Lambertovo vrsto:

 

kjer so koeficienti dani z:

 

enako kot prej. Primeri Lambertovih vrst v tej obliki z   se pojavljajo za Riemannovo funkcijo   za vrednosti lihih celih števil. Za podrobnosti glej konstanta zeta.

Trenutna raba

uredi

Viri navajajo Lambertovo vrsto za različne vrste vsot. Ker je na primer   funkcija polilogaritma, se lahko vsaka vsota oblike:

 

obravnava kot Lambertova vrsta, pri čemer so parametri ustrezno omejeni. Tako se lahko:

 

za vse kompleksne  , ki ne ležijo na enotski krožnici, obravnava kot enakost Lambertove vrste. Enakost sledi neposredno iz nekaterih enakosti, ki jih je objavil Ramanudžan. Zelo temeljite raziskave Ramanudžanovega dela se lahko najdejo v Berndtovem delu.

Glej tudi

uredi

Sklici

uredi
  • Apostol, Tom Mike (2010), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, COBISS 18018312, ISBN 978-1-4419-2805-4, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  • Berry, Michael Victor (2010), Functions of Number Theory, Cambridge University Press, str. 637–641, ISBN 978-0-521-19225-5
  • Lambert, Johann Heinrich, Opera Mathematica, 1–2 , O. Füssli (1946–1948)
  • Lambert, Preston A. (1904). »Expansions of algebraic functions at singular points«. Proc. Am. Philos. Soc. Zv. 43, št. 176. str. 164–172. JSTOR 983503.
  • Voitsekhovskii, M. I. (2001), »Lambert series«, v Hazewinkel, Michiel, (ur.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4{{citation}}: Vzdrževanje CS1: dodatno ločilo (povezava)

Zunanje povezave

uredi