Lambertova vrsta

Lambertova vŕsta [lámbertova ~] je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil neskončna vrsta oblike:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {a_{1}q}{1-q}}+{\frac {a_{2}q^{2}}{1-q^{2}}}+\ldots ,\qquad (|q|>1)\!\,.$

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku, astronomu in filozofu Johannu Heinrichu Lambertu. Lahko se strne formalno z razvojem imenovalca:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}\!\,,$

kjer so koeficienti nove vrste dani z Dirichletovo konvolucijo koeficientov $a_{n}\,$ s konstantno funkcijo $1(n)=1\,$:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n|m}a_{n}.\,$

Ta vrsta se lahko obrne z Möbiusovo inverzno formulo in je zgled Möbiusove transformacije.

Zgledi

Ker je zadnja vsota tipična vsota teorije števil, bodo skoraj vse naravne multiplikativne funkcije eksaktno seštevljive pri uporabi v Lambertovi vrsti. Tako je na primer:

$\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}\!\,,$

kjer je $\sigma _{0}(n)\equiv d(n)\equiv \tau (n)$ funkcija števila pozitivnih deliteljev števila $n\,$.

Za funkcije deliteljev višjega reda je:

$\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{\alpha }(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}\!\,,$

kjer je $\alpha \,$ poljubno kompleksno število,

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha }\!\,$

pa je funkcija deliteljev.

Lambertovo vrsto v kateri so koeficienti $a_{n}\,$ trigonometrične funkcije, na primer $a_{n}=\sin(2nx)\,$, se lahko izračuna z različnimi kombinacijami logaritemskega odvoda Jacobijevih funkcij ϑ.

Druge Lambertove vrste so tudi za Möbiusovo funkcijo $\mu (n)\,$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q\!\,.$

Za Eulerjevo funkcijo $\phi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}\!\,.$

Za Liouvillovo funkcijo $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)\!\,,$

kjer je vsota na levi podobna Ramanudžanovi funkciji ϑ.

Sorodno za alternirajočo vrsto oblike:

$4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}=\vartheta _{3}^{2}(q)-1\!\,,$

kjer je $r(n)\,$ število predstavitev $n\,$ v obliki $n=A^{2}+B^{2}\,$, kjer sta $A\,$ in $B\,$ racionalni celi števili. Obakrat je $\vartheta _{3}(q)\,$ Jacobijeva eliptična funkcija izražena kot funkcija ϑ.

Alternativna oblika

Če se zamenja spremenljivka $q=e^{-z}\,$, se dobi druga običajna oblika za Lambertovo vrsto:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}\!\,,$

kjer so koeficienti dani z:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d|m}a_{d}\!\,$

enako kot prej. Primeri Lambertovih vrst v tej obliki z $z=2\pi \,$ se pojavljajo za Riemannovo funkcijo $\zeta (s)\,$ za vrednosti lihih celih števil. Za podrobnosti glej konstanta zeta.

Trenutna raba

Viri navajajo Lambertovo vrsto za različne vrste vsot. Ker je na primer $q^{n}/(1-q^{n})=\operatorname {Li} _{0}(q^{n})$ funkcija polilogaritma, se lahko vsaka vsota oblike:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\operatorname {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\operatorname {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}\!\,$

obravnava kot Lambertova vrsta, pri čemer so parametri ustrezno omejeni. Tako se lahko:

$12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\operatorname {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\operatorname {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\operatorname {Li} _{-3}(q^{n})\!\,,$

za vse kompleksne $q\,$, ki ne ležijo na enotski krožnici, obravnava kot enakost Lambertove vrste. Enakost sledi neposredno iz nekaterih enakosti, ki jih je objavil Ramanudžan. Zelo temeljite raziskave Ramanudžanovega dela se lahko najdejo v Berndtovem delu.

Glej tudi

• Erdős-Borweinova konstanta

Viri

• Apostol, Tom Mike (2010), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, COBISS 18018312, ISBN 978-1-4419-2805-4, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Berry, Michael Victor (2010), Functions of Number Theory, Cambridge University Press, str. 637–641, ISBN 978-0-521-19225-5
• Lambert, Johann Heinrich, Opera Mathematica, 1–2 , O. Füssli (1946–1948)
• Lambert, Preston A. (1904). »Expansions of algebraic functions at singular points«. Proc. Am. Philos. Soc. Zv. 43, št. 176. str. 164–172. JSTOR 983503.
• Voitsekhovskii, M. I. (2001), »Lambert series«, v Hazewinkel, Michiel, (ur.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4{{citation}}: Vzdrževanje CS1: dodatno ločilo (povezava)

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Lambert Series«. MathWorld.
• Lambert series na PlanetMath (angleško)