Kardinalnost

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.^[1]

Kardinalnost množice $A\,$ se običajno označuje z $|A|\,$ , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še ${\overline {\overline {A}}}\,$ in # A.

Primerjava množic

$|A|=|B|\,$ . V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz $A\,$ v $B\,$ ).

Zgled: množica

E={0,2,4,6,\dots }\,

nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica

N={0,1,2,3,\dots }\,

naravnih števil, ker je funkcija

f(n)=2n\,

bijektivna preslikava iz

N\,

v

E\,

.

$|A|\geq |B|\,$ . V tem primeru ima množica $A\,$ večjo ali enako kardinalnost kot $B\,$ , če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz $B\,$ v $A\,$ .
$|A|>|B|\,$ . V tem primeru je kardinalnost množice $A\,$ večja od kardinalnosti množice $B\,$ . To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice $B\,$ v množico $A\,$ .

Kardinalno število

Glavni članek: Kardinalno število.

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

\aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .

Za vsako ordinalno število $\alpha \,$ je $\aleph _{\alpha +1}\,$ najmanjše kardinalno število večje od $\aleph _{\alpha }\,$ (oznaka $\aleph \,$ je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z $\aleph _{0}\,$ , (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s ${\mathfrak {c}}\,$ in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja $c=2^{\aleph _{0}}\,$ , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}\,$ . To pa pomeni,da je $2^{\aleph _{0}}\,$ najmanjše kardinalno število večje od ${\aleph _{0}}\,$ . To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma

Glavni članek: Kardinalnost kontinuuma.

Kardinalnost kontinuuma se označuje s ${\mathfrak {c}}$ . Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka $\aleph _{0}\,$ ). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.