Odpre glavni meni

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.[1]

Kardinalnost množice se običajno označuje z , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še in # A.

Primerjava množicUredi

Zgled: množica   nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica   naravnih števil, ker je funkcija   bijektivna preslikava iz   v  .
  •  . V tem primeru ima množica   večjo ali enako kardinalnost kot  , če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz   v  .
  •  . V tem primeru je kardinalnost množice   večja od kardinalnosti množice  . To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice   v množico  .

Kardinalno številoUredi

Glavni članek: Kardinalno število.

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

 

Za vsako ordinalno število   je   najmanjše kardinalno število večje od   (oznaka   je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z  , (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s   in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja  , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je  . To pa pomeni,da je   najmanjše kardinalno število večje od  . To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuumaUredi

Glavni članek: Kardinalnost kontinuuma.

Kardinalnost kontinuuma se označuje s  . Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka  ). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

 .

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

 

kjer je:

Opombe in skliciUredi

  1. Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html

Zunanje povezaveUredi