Odpre glavni meni

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za .

DefinicijaUredi

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z  :

 

Označimo s   potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice  . Potem velja:

 

To pa je kardinalnost potenčne množice  , če je   kardinalnost množice  .

Po tej definiciji so:

 

kardinalnosti naslednjih množic:

 

To pomeni, da je drugo število bet   enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka  ). Tretje število bet   je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alefUredi

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med   in   sledi, da je:

 .

To pomeni, da za vsako ordinalno število   velja:

 

Domneva kontinuuma nam da:

 

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

 

Nekatera kardinalna števila betUredi

Bet ničUredi

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  :

Bet enaUredi

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  :

Bet dvaUredi

Naslednjim množicam pripada kardinalnost  :

  • potenčna množica množice realnih števil
  • potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
  • množica funkcij iz   v   ( )
  • množica funkcij iz   v  
  • potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
  • Stone-Čechova kompaktifikacija za  ,   in  

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi