Funkcija Z

Funkcija Z je v matematiki funkcija uporabna pri raziskovanju Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kjer je realni del argumenta enak . Imenuje se tudi Riemann-Sieglova funkcija Z, Hardyjeva funkcija, Hardyjeva funkcija Z ali Hardyjeva funkcija zeta. Lahko se definira z Riemann-Sieglovo funkcijo ϑ in Riemannovo funkcijo ζ kot:

Velja še:

Iz funkcijske enačbe za Riemannovo funkcijo ζ sledi, da je funkcija Z realna za realne vrednosti . Je soda funkcija in realna analitična za realne vrednosti. Iz dejstva, da sta Riemann-Sieglova funkcija ϑ in Riemannova funkcija ζ obe holomorfni na kritičnem traku, kjer je imaginarni del med -1/2 in 1/2, sledi, da je tudi funkcija Z holomorfna na kritičnem traku. Še več, realne ničle so točno ničle Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kompleksne ničle na kritičnem traku funkcije Z odgovarjajo ničlam zunaj kritične premice Riemannove funkcije ζ na njenem kritičnem traku.

Funkcija Z v kompleksni ravnini
Riemann Siegel Z 1.jpg
Riemann Siegel Z 2.jpg

Riemann-Sieglova formulaUredi

Riemann-Sieglova formula zelo izboljša računanje vrednosti funkcije   za realne   in tako tudi Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice:

 

kjer je člen napake   asimptotično izražen v kompleksnem s funkcijo:

 

in njenimi odvodi. Če je  ,   in  , potem velja:

 

kjer tripičje označuje, da se lahko nadaljuje na višje in naraščajoče kompleksne člene.

Znane so druge učinkovite vrste za funkcijo  , še posebej z nepolno funkcijo Γ. Če je:

 

je posebej lep zgled:

 

Obnašanje funkcije ZUredi

Iz izreka o kritični premici sledi, da je gostota realnih ničel funkcije Z enaka:

 

za kakšno konstanto  . Tako število ničel na intervalu z dano velikostjo počasi narašča. Če je Riemannova domneva pravilna, so vse ničle na kritičnem traku realne ničle, konstanta pa je enaka  . Domneva se tudi, da so vse te ničle enostavne.

Izrek OmegaUredi

Zaradi ničel funkcije Z se funkcija obnaša nihajoče. Tudi počasi narašča tako v povprečju kot tudi ob vrhovih vrednostih. Brez Riemannove domneve izrek Omega pravi, da velja:

 

kjer zapis pomeni, da   krat funkcija znotraj Ω ne teži k nič z naraščajočim  .

Povprečna rastUredi

Raziskovali so tudi povprečno rast funkcije Z. Kvadratična sredina se lahko najde iz:

 

ali:

 

kar pove, da kvadratična sredina funkcije   narašča kot  . Ta ocena se lahko izboljša na:

 

Če se eksponent poveča, se dobi srednja vrednost, ki je bolj odvisna od vrhov vrednosti funkcije Z. Za četrte potence je:

 

od koder se lahko zaključi, da četrti koren srednje vrednosti četrte potence narašča kot  .

Lindelöfova domnevaUredi

Glavni članek: Lindelöfova domneva.

Raziskali so višje sode potence, manj pa je znanega o ustrezni srednji vrednosti. Domneva se in sledi iz Riemannove domneve, da velja:

 

za vsak pozitiven ε. Tukaj zapis z malim »o« pomeni, da leva stran deljena z desno stranjo konvergira k nič, oziroma, da je majhni o negacija Ω. Ta domneva se imenuje Lindelöfove domneva in je šibkejša od Riemannove domneve. Običajno se poda v pomembni enakovredni obliki:

 

V obeh oblikah pravi, da stopnja rasti vrhov vrednosti ne more biti prevelika. Najboljša znana meja te stopnje ni močna, in pravi, da je primeren vsak  . Bilo bi neverjetno najti, da funkcija Z kje narašča tako hitro kot to. Littlewood je dokazal, da ob pravilnosti Riemannove domneve velja:

 

kar se zdi veliko bolj verjetno.

SkliciUredi

ViriUredi

  • Edwards, Harold Mortimer (1974), Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
  • Ivić, Aleksandar (2013), The theory of Hardy's Z-function, Cambridge Tracts in Mathematics, 196, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02883-8, Zbl pre06093527 Preveri |zbl= vrednost (pomoč)
  • Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79001-8, Zbl 0983.41019
  • Ramachandra, K., "Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function", Tata Institute of Fundamental Research, Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics., Berlin: Springer-Verlag, 85, ISBN 3-540-58437-4, Zbl 0845.11003
  • Titchmarsh, Edward Charles (1986) [1951], Heath-Brown, D. R. (ur.), The Theory of the Riemann Zeta-Function (2. popravljena izd.), Oxford University Press

Zunanje povezaveUredi