Evklid-Eulerjev izrek

Ta članek govori o izreku o popolnih številih in Mersennovih praštevilih. Za izrek o neskončnosti praštevil glej Evklidov izrek o praštevilih.

Evklid-Eulerjev izrek je v matematiki izrek, ki povezuje popolna števila z Mersennovimi praštevili. Izrek pravi, da ima vsako sodo popolno število obliko:

$2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\!\,,$

kjer je $2^{p}-1\!\,$ praštevilo. Imenuje se po Evklidu in Leonhardu Eulerju.

Domneva se, da obstaja neskončno mnogo Mersennovih prštevil. Čeprav pravilnost te domneve ostaja neznana, je po Evklid-Eulerjevemu izreku enakovredna domnevi o obstoju neskončno mnogo lihih popolnih števil. Ni znano tudi ali obstaja vsaj eno sodo popolno število.

Vsebina

Popolno število je naravno število, ki je enako vsoti njegovih pravih deliteljev – števil, ki so manjša od samega števila in ga delijo. Pravi delitelji števila 6 so na primer 1, 2 in 3, njihova vsota pa je enaka 6, tako da je 6 (najmanjše) popolno število. Naslednje popolno število je 28. Mersennovo praštevilo je praštevilo oblike $M_{p}=2^{p}-1\!\,$. Da je število te oblike praštevilo, mora tudi $p\!\,$ sam biti praštevilo. Evklid-Eulerjev izrek pravi, da je sodo naravno število popolno, če in samo če je oblike:

$2^{p-1}M_{p}\!\,,$

kjer je $M_{p}\!\,$ Mersennovo praštevilo.

Zgodovina

Evklid je dokazal, da je $2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\!\,,$ sodo popolno število, kadar je $M_{p}\equiv 2^{p}-1\!\,$ praštevilo. (Evklid, prop. IX.36). To je zadnji rezultat iz teorije števil v njegovih Elementih – kasnejše knjige Elementov vsebujejo iracionalna števila, geometrijo teles in zlati rez. Evklid je izrazil rezultat v obliki, da če ima končna geometrijska vrsta s prvim členom enakim 1 in razmerjem enakim 2 praštevilsko vsoto $P\!\,$, je vsota, pomnožena z zadnjim členom vsote $T\!\,$, popolno število. Vsota končne vrste $P\!\,$, izražena s temi členi, je Mersennovo praštevilo $M_{p}=2^{p}-1\!\,$, zadnji člen $T\!\,$ vrste pa je potenca dveh $2^{p-1}\!\,$. Evklid je dokazal, da je $PT\!\,$ popolno število, kjer je opazil, da je geometrijska vrsta z razmerjem 2 s prvim členom pri $P\!\,$ in enakim številom členov sorazmerna z izvirno vrsto – zato, ker je vsota izvirne vrste enaka $P=2T-1\!\,$, je vsota druge vrste enaka $P(2T-1)=2PT-P\!\,$, obe vrsti skupaj pa dajo vsoto $2PT\!\,$, dvakratnik predvidenega popolnega števila. Ti dve vrsti pa sta nepovezani druga od druge in (po praštevilskosti $P\!\,$) izčrpata vse delitelje $PT\!\,$, tako da ima $PT\!\,$ delitelje, katerih vsota je $2PT\!\,$, in kar kaže, da je popolno število.

Tisoč let po Evklidu je Ibn al-Haitam okoli leta 1000 domneval, da je vsako sodo popolno število oblike $2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\!\,$, kjer je $2^{p-1}\!\,,$ praštevilo, vendar tega ni mogel dokazati.

V 18. stoletju je Euler dokazal, da bo formula $2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\!\,$ dala vsa soda popolna števila. Tako obstaja enolična povezava med sodimi popolnimi števili in Mersennovimi praštevili – vsako Mersennovo praštevila tvori eno sodo popolno število in obratno.

Dokaz

Eulerjev dokaz je kratek in je odvisen od dejstva, da je funkcija vsote deliteljev $\sigma \!\,$ multiplikativna – kar pomeni, da če sta $a\!\,$ in $b\!\,$ dve tuji celi števili, velja $\sigma (ab)=\sigma (a)\ \sigma (b)\!\,$. Da ta formula velja, mora vsota deliteljev števila vsebovati samo število in ne samo njegove prave delitelje. Število je popolno, če in samo če je vsota njegovih deliteljev enaka dvakratniku števila.

Drugi del izreka (del, ki ga je dokazal že Evklid) neposredno sledi iz značilnosti multiplikativnosti – vsako Mersennovo praštevilo da sodo popolno število. Kadar je $2^{p}-1\!\,$ praštevilo, velja:

$\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\!\,.$

Delitelji števila $2^{p-1}\!\,$ so $1,2,4,8,\ldots ,2^{p-1}\!\,$. Vsota teh deliteljev je geometrijska vrsta, katere vsota je enaka $2^{p}-1\!\,$. Ker je $2^{p}-1\!\,$ praštevilo, sta njegova edina delitelja 1 in število samo, tako da je vsota njegovih deliteljev enaka $2^{p}\!\,$.

To se združi kot:

${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\!\,.\end{aligned}}$

Tako je $2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\!\,$ popolno število.

Na drugi strani se predpostavi, da je dano sodo popolno število in ga deln o deli kot $2^{k}x\!\,$, kjer je $x\!\,$ lih. Da je $2^{k}x\!\,$ popolno število, mora biti vsota njegovih deliteljev dvakratnik njegove vrednosti:

$2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x)\!\,.$

 

 

 

 

(∗)

Lihi prafaktor $2^{k+1}-1\!\,$ na desni strani enačbe (∗) je enak vsaj 3 in mora deliti $x\!\,$, edini lihi prafaktor na levi strani, tako da je $y=x/(2^{k+1}-1)\!\,$ pravi delitelj $x\!\,$ Če se obe strani enačbe (∗) delita s skupnim faktorjem $2^{k+1}\!\,$ in upoštevata znana delitelja $x\!\,$ in $y\!\,$ števila $x\!\,$, izhaja:

$2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{\text{drugi delitelji}}=2^{k+1}y+{\text{drugi delitelji}}\!\,.$

Da ta enakost velja, ne more biti drugih deliteljev. Zato mora biti $y=1\!\,$, $x\!\,$ pa mora biti praštevilo oblike $2^{k+1}-1\!\,$

Viri

• Euler, Leonhard (1849), »De numeris amicibilibus« [On amicable numbers], Commentationes arithmeticae (v latinščini), zv. 2, str. 627–636
• Evklid (1956), The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX) (2. izd.), Dover, str. 421–426
• Gerstein, Larry (2012), Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, izrek 6.94, str. 339, ISBN 9781461442653
• Stillwell, John (2010), Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 9781441960528
• Travaglini, Giancarlo (2014), Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, London Mathematical Society Student Texts, zv. 81, Cambridge University Press, str. 26–27, ISBN 9781107044036