Popolno število

Popolno število (OEIS A000396) je v matematiki pozitivno celo število n, za katerega je vsota pozitivnih pravih deliteljev enaka:

\sigma ^{\star }(n)=n\!\,,

oziroma vsota deliteljev:

\sigma (n)=2n\!\,.

Pravi delitelji števila n ne vsebujejo.

6 je najmanjše popolno število, saj je 6 = 1 + 2 + 3. Velja tudi 6 = 1 * 2 * 3; edino glede tega tudi izstopa kot število skladnosti. Naslednji popolni števili sta 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 in 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Popolna števila so povezana z Mersennovimi praštevili M_n. Že Evklid je v deveti knjigi Elementov dokazal naslednjo trditev: če je M_n Mersennovo praštevilo, potem je M_n (M_n + 1)/2 popolno število. Če je vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja kvadratov praštevilo, potem je zmnožek te vsote in n-tega člena popolno število. Za prva popolna števila tako velja:

{\begin{aligned}\{1,2\},\quad s_{2}&=3,\quad 3\cdot 2=3\cdot 2^{2-1}=6,\\\{1,2,4\},\quad s_{3}&=7,\quad 7\cdot 4=7\cdot 2^{3-1}=28,\\\{1,2,4,8,16\},\quad s_{5}&=31,\quad 31\cdot 16=31\cdot 2^{5-1}=496,\\\{1,2,4,8,16,32,64\},\quad s_{7}&=127,\quad 127\cdot 64=127\cdot 2^{7-1}=8128,\ldots .\!\,\end{aligned}}

Euler je leta 1770 v svojem delu Algebra naprej pokazal, da so takšne oblike vsa soda popolna števila. S tem je odkril tesno povezavo med Mersennovimi praštevili in popolnimi števili. Nikomah (okoli 100) je v svoji knjigi Uvod v aritmetiko navedel štiri tedaj znana popolna števila manjša od 10.000. Prvi dve, 6 in 28, so poznali že pitagorejci. 496 in 8128 pa je dobil Evklid s svojo enačbo. Ni popolnega števila s 5. števkami. 5. popolno število 33.550.336 se končuje sicer na 6 in so ga našli šele v 15. stoletju. Tako pa se končuje tudi 6. popolno število 8.589.869.056. Velja pa, da se vsako popolno število končuje na 6 ali na 8. Tako po Evklidu velja, da so popolna števila P_n vsa tista Mersennova števila M_n, ki so praštevila: P_n = M_n(2^n-1). Šesto in sedmo popolno število za n = 17, 19 je našel Cataldi (1548-1626) leta 1588. Naslednje štiri za n = 31, 67, 127, 257 pa je leta 1644 brez dokaza najavil Mersenne (1588-1648). Šele Euler je leta 1772 dokazal, da je Mersennovo število M₃₁ praštevilo in s tem našel 8. popolno število 2305843008139952128 = 2³⁰(2³¹-1).

Trenutno (oktober 2024) poznamo le 47 Mersennovih praštevil in s tem tudi 47 sodih popolnih števil. Ne ve se ali obstaja neskončno število popolnih števil. Ne vemo tudi ali obstaja še kakšno popolno število manjše od 41., oziroma med zadnjimi sedmimi.

Ne ve se tudi ali obstajajo liha popolna števila. Veliko rezultatov nam še ni pomagalo razvozlati njihovega obstoja. Če obstaja liho popolno število, mora biti večje od 10³⁰⁰. Poleg tega mora imeti tudi vsaj 8 različnih prafaktorjev (in vsaj 11, če ni deljivo s 3), ter mora biti vsaj en prafaktor večji od 10⁷, dva prafaktorja večja od 10⁴ in trije prafaktorji večji od 100.

Upoštevajmo, da lahko vsota pravih deliteljev števila n da različna števila od n. Števila, katerih vsota je manjša od števila samega, se imenujejo nezadostna števila, števila, katerih vsota pa je večja, se imenujejo obilna števila. Ta števila skupaj s popolnimi števili izhajajo iz grške numerologije. Števili, katerih vsota njihovih pravih deliteljev je križno enaka, se imenujeta prijateljski števili, večji cikel takšnih števil pa se imenuje družabno število. Število, ki je samo sebi prijateljsko, je popolno število. Popolno število je tudi družabno število s periodo 1.

Zvezo med prvimi 15. Mersennovimi in popolnimi števili podaja naslednja razpredelnica:

n	M_n	M_n(2^n-1)
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8128
13	8191	33550336
17	131071	8589869056
19	524287	137438691328
31	2147483647	2305843008139952128
61	2305843009213693951	2658455991569831744654692615953842176
89	618970019642690137449562111	191561942608236107294793378084303638130.. ..997321548169216
107	162259276829213363391578010288127	3164036458569648337239753460458722910.. ..223472318386943117783728128
127	170141183460469231731687303715884105727	14474011154664524427946373126085988481.. ..573677491474835889066354349131199152128
521	6864797660130609714981900799081393217269.. ..435300143305409394463459185543183397656.. ..052122559640661454554977296311391480858.. ..037121987999716643812574028291115057151	23562723457267347065789548996709904988.. ..477547858392600710143027597506337283.. ..178622239730365539602600561360255566.. ..462503270175052892578043215543382498.. ..428777152427010394496918664028644534.. ..128033831439790236838624033171435922.. ..356643219703101720713163527487298747.. ..400647801939587165936401087419375649.. ..057918549492160555646976
607	...	...
1279	...	...

Značilnosti

Popolna števila imajo še nekaj drugih značilnosti. Vsako popolno število je trikotniško in je oblike:

{\frac {n}{2}}(n+1)\!\,

pri nekem celem n.

Vsako popolno število je oblike:

(2^{n}-1)2^{n-1}\equiv M_{n}2^{n-1}\!\,.

Prva števila takšne oblike, ki niso popolna, so (OEIS A144858):

0, 1, 120, 2016, 32640, 130816, 523776, 2096128, 8386560, ...

Tudi za ta števila velja enaka značilnost geometrijskega zaporedja kvadratov:

{\begin{aligned}\{1,2,4,8\},\quad s_{4}&=15,\quad 15\cdot 8=15\cdot 2^{4-1}=120,\\\{1,2,4,8,16,32\},\quad s_{6}&=63,\quad 63\cdot 32=63\cdot 2^{6-1}=2016,\\\{1,2,4,8,16,32,64,128\},\quad s_{8}&=255,\quad 255\cdot 128=255\cdot 2^{8-1}=32640,\\\{1,2,4,8,16,32,64,128,256\},\quad s_{9}&=511,\quad 511\cdot 256=511\cdot 2^{9-1}=130816,\ldots .\!\,\end{aligned}}

Vsako sodo popolno število razen 6 je vsota zaporednih lihih kubov. Na primer:

28 = 1³ + 3³,

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³,

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

Števčni koren vsakega sodega popolnega števila je enak 1. Na primer:

33550336 => 3+3+5+5+0+3+3+6 = 28 => 2+8 = 10 => 1+0 = 1,

8589869056 => 8+5+8+9+8+6+9+0+5+6 = 64 => 6+4 = 10 => 1+0 = 1,

137438691328 => 1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8 = 55 => 5+5 = 10 => 1+0 = 1,

2305843008139952128 => 2+3+0+5+8+4+3+0+0+8+1+3+9+9+5+2+1+2+8 = 73 => 7+3 = 10 => 1+0 = 1.

Vsota obratnih vrednosti vseh deliteljev sodega popolnega števila P_n je enaka 2. Na primer za popolno število 8128:

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/127+1/254+1/508+1/1016+1/2032+1/4064+1/8128 = 2.

Nobeno popolno število ni nedotakljivo.

Glej tudi

Zunanje povezave

44 popolnih števil Arhivirano 2009-05-03 na Wayback Machine. (angleško)