Diofantska enačba
Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:
linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost). | |
Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe. | |
Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat. | |
kvadratna enačba Markova | |
pitagorejske četvorke. | |
, , | Thueve enačbe in so v splošnem rešljive. |
diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve. | |
diofantska enačba Fermat-Catalanove domneve. | |
Eulerjeva enačba četrte stopnje. | |
, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz). | Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila. |
Linearne diofantske enačbe
urediLinearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko:
kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev.
Zgled:
Rešitev je:
Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko:
Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te se lahko najdejo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (x − vk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b.
Zgled:
Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k):