Catalanova domneva

Catalanova domneva je v teoriji števil preprosta domneva, ki jo je leta 1844 predlagal belgijski matematik Eugène Charles Catalan. Aprila 2002 jo je končno dokazal romunski matematik Preda Mihăilescu z Univerze v Paderbornu in sedaj velja kot izrek.

Pri domnevi je pomemben pojem popolne potence, ki je poljubno naravno število oblike mⁿ. Na primer 2³ = 8 in 3² = 9 sta takšni dve zaporedni potenci. Catalanova domneva pravi, da sta ti dve števili edini primer zaporednih popolnih potenc.

Lahko se reče tudi, da Catalanova domneva pravi, da ima diofantska enačba:

$x^{a}-y^{b}=1\qquad {\mbox{ za }}x,a,y,b>1$

edino rešitev: x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Še posebej ni pomembno, da se števili 2 in 3 ponovita v enačbi 3² − 2³ = 1. Tudi primer, kje se števili ne bi ponovili, bi bil protiprimer Catalanove domneve.

Domnevo je Catalan objavil v reviji Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. Mihăilescujev dokaz je preveril Yuri Bilu s pomočjo teorije ciklotomskih obsegov in Galoisovih modulov.

Pillaijeva domneva govori o splošni razliki popolnih potenc. Pravi, da razlika v zaporedju popolnih potenc teži k neskončnosti in da se vsaka dana razlika pojavi le končno mnogokrat. Domneva je nerešen problem in se imenuje po indijskem matematiku Subaju Sivasankaranarajanu Pillaiju.

Glej tudi

• Tijdemanov izrek
• Størmerjev izrek
• Fermat-Catalanova domneva

Viri

• Bračič, Janko (2005). »Catalanova domneva je dokazana«. Obzornik za matematiko in fiziko. Zv. 52, št. 4. str. 120–127. (Math. Subj. Class. (2000): 11D41)