Carlemanova matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo kompozituma funkcij v množenje matrik. Druga področja uporabe so še v teoriji iteracij in verjetnosti ter v Markovskih verigah.

Definicija

uredi

Calermanova matrika funkcije   je določena z

 

pri tem pa velja

 

Tako lahko zapišemo določanje funkcije   kot

 ,

kar pa je skalarni produkt prve vrstice matrike   z vektorjem  .

Množenje z drugo vrstico matrike   nam da drugo potenco funkcije  

 .

Lahko pa določimo tudi ničelno potenco funkcije  . V matriki   predpostavimo, da vrstica 0 vsebuje ničle povsod, razen na prvem mestu. To nam da

 

Skalarni produkt matrike   z vektorjem   nam da vektor

 .

Bellova matrika

uredi

Bellova matrika funkcije   je določena kot

 

pri tem pa velja

 

To pa pomeni, da je Bellova matrika transponirana Carlemanova matrika.

Primeri

uredi

Carlemanova matrika konstante je:

 

Carlemanova matrika identične funkcije je:

 

Carlemanova matrika dodane konstante je:

 

Carlemanova matrika zmnožka s konstanto je:

 

Carlemanova matrika linearne funkcije je:

 

Carlemanova matrika funkcije   je:

 

Carlemanova matrika funkcije   je:

 .

Lastnosti matrike

uredi

Obe matriki (Carlemanova in Bellova) zadoščata osnovnima odnosoma:

  •  
  •  

kar dela Carlemanovo matriko   kot neposredno predstavitev funkcije   in Bellovo matriko   kot nasprotno predstavitev funkcije  . V zgornjih izrazih pomeni   kompozitum funkcij  .

Razen tega veljata še naslednji lastnosti:

  •  

kjer je

  iteracija funkcije
  •  

kjer je

  inverzna funkcija (če je Calermanova matrika obrnljiva).