Inverzna funkcija

Inverzna funkcija (kratko tudi inverz) je v matematiki funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija $f$. Inverz funkcije $f$ označimo $f^{-1}$.

Graf inverzne funkcije dobimo tako, da graf prvotne funkcije prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov (premico y = x.

Funkcija $f:{A\to B}$ ima inverz samo, če je bijektivna. V tem primeru je inverzna funkcija $f^{-1}:{B\to A}$, ki je tudi bijektivna. Če funkcija $f$ preslika element $x$ v $y$, potem inverzna funkcija $f^{-1}$ preslikava $y$ v $x$.

$f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)$

Zgledi:

• funkcija, ki deluje obratno kot prištevanje 3, je odštevanje 3:

$f(x)=x+3\iff f^{-1}(x)=x-3$

• funkcija, ki deluje obratno kot množenje s 3, je deljenje s 3:

$f(x)=3x\iff f^{-1}(x)={\frac {x}{3}}$

• funkcija, ki deluje obratno kot potenciranje na 3, je tretji koren:

$f(x)=x^{3}\iff f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}$

Če izračunamo kompozitum funkcije $f$ in njenega inverza (v poljubnem vrstnem redu), dobimo identično funkcijo:

$f\circ f^{-1}=id$

$f^{-1}\circ f=id$

Oziroma drugače zapisano:

$f(f^{-1}(x))=x\,$

$f^{-1}(f(x))=x\,$

Delni inverz

Kvadratni koren je delni inverz kvadriranja (je inverz samo za nenegativne vrednosti x).

Če funkcija $f:{A\to B}$ ni bijektivna, inverz ne obstaja. V takem primeru pogosto množici zožimo (nadomestimo s podmnožicama $A_{1}$ in $B_{1}$) tako, da je dobljena funkcija $f:{A_{1}\to B_{1}}$ bijektivna. Dobljena funkcija ima inverz, vendar samo v okviru zoženih množic $A_{1}$ in $B_{1}$. Tak inverz imenujemo delni inverz.

Zgled: Funkcija $f(x)=x^{2}$ ni bijektivna funkcija $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in zato nima inverza. Če se omejimo samo na nenegativna števila, pa ugotovimo, da je ta ista funkcija bijektivna kot funkcija $f:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$. V tem smislu obstaja tudi inverz, ki je enak $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$.