Bellova vrsta

Bellova vrsta je v matematiki formalna potenčna vrsta, s katero se proučujejo značilnosti aritmetičnih funkcij. Vrste je uvedel, proučeval in razvil Eric Temple Bell.

Za dano aritmetično funkcijo $f$ in praštevilo $p$, je formalna potenčna vrsta $f_{p}(x)$, imenovana Bellova vrsta $f$ modulo $p$, določena kot:

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}\!\,.$

Multiplikativni funkciji sta enaki, če so enake vse njune Bellove vrste. To dejstvo se včasih imenuje izrek edinstvenosti. Za dani multiplikativni funkciji $f$ in $g$, velja $f=g$, če in samo če:

$f_{p}(x)=g_{p}(x)\!\,$ za vsa praštevila $p$.

Dve vrsti se lahko množi (izrek o množenju): za poljubni dve aritmetični funkciji $f$ in $g$ naj je $h=f*g$ njuna Dirichletova konvolucija. Za vsako praštevilo $p$ potem velja:

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x)\!\,.$

V posebnem primeru je preprosto najti Bellovo vrsti za Dirichletov inverz.

Če je $f$ popolnoma multiplikativna (multiplikativna za vsa pozitivna cela števila, ne le za tuja), velja:

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}\!\,.$

Zgledi

Nekaj Bellovih vrst za znane aritmetične funkcije:

• Möbiusova funkcija $\mu$ - $\mu _{p}(x)=1-x\!\,.$
• Eulerjeva funkcija $\phi$ - $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}\!\,.$
• multiplikativna enakost Dirichletove konvolucije $\delta \,$ - $\delta _{p}(x)=1\!\,.$
• Liouvillova funkcija $\lambda$ - $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
• potenčna funkcija Id_k - $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Tukaj je Id_k popolnoma multiplikativna funkcija $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$.
• funkcija števila deliteljev $\sigma _{k}$ - $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.$

Viri

• Apostol, Tom Mike (2010). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. COBISS 18018312. ISBN 978-1-4419-2805-4. MR 0434929. Zbl 0335.10001.