Vzporedna krivulja

Vzporedna krivulja je ovojnica družine skladnih krožnic s središči na krivulji. So posplošitev pojma vzporednih premic. Lahko jih definiramo tudi kot krivuljo, katere točke imajo stalno pravokotno (normalno) razdaljo od dane krivulje [1].

Elipsa (rdeča), njena evoluta (modra) in nekaj vzporednih krivulj (zelene). Vzporedne krivulje imajo točke obrata, ko se dotaknejo evolute.
Animacija nastanka vzporednih krivulj: elipsa (rdeče), evoluta (astroida, modro) in animacija vzporednih krivulj (črno).

Včasih to krivuljo imenujemo tudi premaknjena krivulja, ker se nanaša na translacijo.

Krivulja je avtoparalelna (sebi vzporedna), če je sama sebi vzporedna. Involuta (evolventa) krožnice je takšen primer.

Parametrična oblikaUredi

Za parametrično definirano krivuljo nam naslednji enačbi definirata eno vejo vzporedne krivulje z razdaljo  . Druga veja se dobi, če vstavimo  ).

 

 .

Nekatere lastnostiUredi

Podobno kot pri vzporednih premicah, je pravokotnica na krivuljo tudi pravokotnica na njene vzporednice.

Ko oblikujemo vzporedne krivulje, imajo krivulje točke obrata, na mestih, kjer je razdalja od krivulje enaka polmeru ukrivljenosti. To so tudi točke, kjer se krivulja dotika svoje evolute. Ker imajo vzporedne krivulje skupno pravokotnico (normalo), imajo tudi skupno evoluto.

Vektorska oblika enačbeUredi

 
 

kjer matrika   pomeni vrtenje vektorja za 90º v smeri gibanja urinega kazalca.

Opombe in skliciUredi

  1. Willson, Frederick Newton (2009). Theoretical and Practical Graphics. BiblioBazaar, LLC. str. 66. ISBN 1-113-74312-3., poglavje 5, stran 66

Zunanje povezaveUredi