Villarceaujevi krožnici

Villarceaujevi króžnici [vilarsójevi ~] sta dve krožnici, ki nastaneta takrat, ko se torus pod določenim kotom prereže skozi središče. Skozi poljubno točko na torusu lahko tako nastanejo štiri krožnice. Prva je v ravnini, ki je vzporedna ekvatorialni ravnini torusa. Druga ravnina je pravokotna nanjo. Drugi dve sta Villarceaujevi krožnici.

Animacija, ki prikazuje kako poševni presek torusa, da dve krožnici, ki sta znani kot Villarceaujevi krožnici

Krožnici se imenujeta po francoskem astronomu, matematiku in inženirju Yvonu Villarceauju (1813 – 1883).

Zgled

Za zgled naj bo torus dan z implicitno enačbo kot množica točk na krožnicah s polmerom 3 okrog točk na krožnici s polmerom 5 v ravnini xy:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2})\,\!.$

Rezanje z ravnino z = 0 tvori dve istosrediščni krožnici x² + y² = 2² in x² + y² = 8².

Rezanje z ravnino x = 0 pa tvori dve krožnici, ki ležita druga ob drugi (y − 5)² + z² = 3² in (y + 5)² + z² = 3².

Dve Villarceaujevi krožnici nastaneta z rezanjem z ravnino 3x = 4z. Ena izmed njih ima središče v točki (0, +3,0), druga pa v (0, -3,0). Obe pa imata polmer enak 5. Napišeta se lahko v parametrični obliki kot:

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,+3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!$

in

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,-3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!.$

Ravnina rezanja je tako izbrana, da je ta tangentna na torus in poteka skozi njegovo središče. V tem primeru sta tangenti v točkah (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) in pri (⁻¹⁶⁄₅, 0, ⁻¹²⁄₅). Kot rezanja je določen z velikostjo torusa. Z vrtenjem ravnine okrog navpične osi, se dobijo vse možnosti za dani torus.

Glej tudi

• presek torusa

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Villarceau Circles«. MathWorld.
• Villarceaujevi krožnici na Wolfram Alpha (angleško)
• Krožnice torusa (francosko)