Točkovna grupa

Točkovna grupa je v geometriji skupina geometrijskih simetrij (izometrij), v katerih ostane točka negibna.

Splošno

Točkovne grupe lahko obstajajo v evklidskem prostoru katere koli razsežnosti. Diskretne dvorazsežne točkovne grupe ali rozetne grupe se uporabljajo za opis simetrij ornamenta. Trirazsežne točkovne grupe se na široko uporabljajo v kemiji, predvsem za opis simetrij molekule in molekularnih orbital, ki tvorijo kovalentne vezi. Točkovne grupe se v tej zvezi imenujejo tudi molekularne točkovne grupe.

Število diskretnih točkovnih grup v vsakem številu razsežnosti je neskončno, kristalografski restrikcijski izrek pa dokazuje, da je s translacijsko simetrijo združljivo samo končno število točkovnih grup. V eni razsežnosti je njihovo število enako 2, v dveh razsežnostih 10 in v treh razsežnostih 32. Trirazsežne točkovne grupe se imenujejo tudi kristalografske točkovne grupe.

Dvorazsežne točkovne grupe

Cvet (bauhinia blakeana) s honkonške zastave ima simetrijo C₅, zvezde na venčnih listih pa simetrijo D₅

Dvorazsežne točkovne grupe so razdeljene v dve skupini glede na to, ali so sestavljene samo iz rotacij ali pa je vanje vključeno tudi zrcaljenje. Ciklične grupe C_n (abstraktne grupe tipa Z_n) so sestavljene iz rotacij s korakom 360º/n in vseh celoštevilčnih mnogokratnikov. Štirinožni stol na primer ima simetrijsko grupo C₄, ki je sestavljena iz štirih rotacij za 0º, 90º, 180º in 270º. Simetrijska grupa kvadrata spada v družino diedrskih grup D_n (abstraktna grupa tipa Dih_n), v kateri je enako število zrcaljenj in rotacij. Neskončna rotacijska simetrija kroga vsebuje tudi zrcalno simetrijo, vendar je krožna grupa S₁ formalno ločena od grupe Dih(S₁), ker slednja eksplicitno vključuje zrcaljenje.

Neskončne grupe niso nujno tudi zvezne. Takšen je primer grupa vseh celoštevilčnih mnogokratnikov rotacije s korakom 360°/√2, ki ne vključuje rotacije za 180°. Homogenost do poljubno majhnega nivoja podrobnosti v prečni smeri se lahko odvisno od aplikacije obravnava kot popolna homogenost v tej smeri in se v primeru teh simetrijskih grup lahko zanemari.

C_n in D_n za n = 1, 2, 3, 4, in 6 se lahko kombinirata s translacijsko simetrijo, včasih tudi več kot v eni smeri, tako da se število dvorazsežnih grup poveča z 10 na 17.

Zaključek

V vsaki razsežnosti d je zvezna grupa vseh možnih negibnih točk izometrij ortogonalna grupa, označena z O(d). Vsaka njena zvezna podgrupa vseh možnih rotacij je posebna ortogonalna grupa, označena z SO(d). Oznake se ne ujemajo s Schönfliesovim zapisom, ampak so dogovorjene oznake iz teorije Liejevih grup.

Zunanje povezave

Web-based point group tutorial (potrebuje Java in Flash)
Subgroup enumeration Arhivirano 2010-05-30 na Wayback Machine. (potrebuje Java)