Standardna baza (tudi naravna baza ali redkeje kànonska baza) je v matematiki za evklidski prostor sestavljena iz enotskih vektorjev , ki imajo smer osi kartezičnega koordinatnega sistema .
Vsakvektor a v treh razsežnostih je linearna kombinacija standardnih baznih vektorjev i , j in k . Standardna baza je definirana kot skupina ortogonalnih enotskih vektorjev, ki tvorijo urejeno ortonormalno bazo . Ni pa vedno ortonormalna baza tudi standardna baza. Zgled: naslednja dva vektorja sta ortogonalna enotska vektorja:
e 1 = ( 3 2 , 1 2 ) , {\displaystyle e_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\!\,,}
e 2 = ( 1 2 , − 3 2 ) , {\displaystyle e_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\!\,,} vendar po definiciji ne tvorita standardne baze.
Standardna baza v trirazsežnem prostoru so vektorji :
e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) , {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)\!\,,} kjer:
e x {\displaystyle \mathbf {e} _{x}\,} kaže v smeri x osi
e y {\displaystyle \mathbf {e} _{y}\,} kaže v smeri y osi
e z {\displaystyle \mathbf {e} _{z}\,} kaže v smeri z osi Vektorji, ki sestavljajo bazo, se imenujejo bazni vektorji .
Uporabljajo se še druge oznake kot so na primer: { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle {\big \{}\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}{\big \}}\,} , { i → , j → , k → } {\displaystyle {\big \{}{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}{\big \}}\,} ali s posebno oznako, ki pomeni enotski vektor { i ^ , j ^ , k ^ , } {\displaystyle {\big \{}{\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}},{\big \}}\,} . Bazni vektorji se lahko zapišejo tudi kot:
i → = e → 1 = ( 1 0 0 ) , j → = e → 2 = ( 0 1 0 ) , k → = e → 3 = ( 0 0 1 ) . {\displaystyle {\vec {i}}={\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {j}}={\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {k}}={\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\!\,.} Poljuben vektor se lahko prikaže kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Zgled: vektor v → {\displaystyle {\vec {v}}\,} se lahko zapiše kot:
v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z}\!\,,} kjer so:
v x , v y , v z {\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}\,} skalarne komponente vektorja v → {\displaystyle {\vec {v}}\,}
e x , e y , e z {\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z}\,} bazni vektorjiV n-razsežnem evklidskem prostoru je n standardnih baznih vektorjev:
{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\}\!\,,} kjer je:
n {\displaystyle n\,} število razsežnosti
e i {\displaystyle e_{i}\,} vektor, ki ima dolžino 1 na i -ti koordinati in dolžino 0 na vseh drugih koordinatah. To se lahko zapiše kot:e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}} Zunanje povezave
uredi