Samopodobnost

Sámopodóbnost v matematiki ponazarja objekte, ki so strogo ali približno podobni delu samega sebe, kar pomeni, da ima celota enako obliko kot en ali več njenih delov. Veliko objektov v stvarnem življenju, kot so na primer obrisi obale, so statistično samopodobni: njihovi deli kažejo enake statistične značilnosti v različnih merilih. Samopodobnost je tipična značilnost fraktalov.

Kochova krivulja ima, če jo povečujemo, neskončnokrat ponavljajočo samopodobnost

Samopodobnost trikotnika Sierpinskega

Invariantnost merila je natančna oblika samopodobnosti, kjer pri poljubni povečavi obstaja manjši del objekta podoben celoti. Stran Kochove snežinke je na primer simetrična in invariantna v merski lestvici; lahko jo brez prestanka povečujemo trikrat brez spremembe oblike.

Matematična definicija

Kompaktni topološki prostor X je samopodoben, če obstaja končna množica S, ki indeksira množico nesurjektivnih homeomorfizmov $\{f_{s}\}_{s\in S}$, za katere velja:

$X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)\!\,.$

Če je $X\subset Y$, imenujemo prostor X samopodoben, če je edina neprazna podmnožica Y, tako da zgornja enačba velja za $\{f_{s}\}_{s\in S}$.

${\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})\!\,$

se imenuje samopodobna struktura. Homeomorfizmi so lahko iterirani, kar privede do sistema iterirane funkcije. Kompozitum funkcij tvori algebrsko strukturo monoidov. Kadar ima množica S le dva elementa, se monoid imenuje diadični monoid. Diadični monoid si lahko predstavljamo kot neskončno dvojiško drevo, oziroma bolj splošno, če ima množicaS p elementov, lahko monoid predstavimo kot p-adično drevo.

Avtomorfizmi diadičnega monoida tvorijo modularno grupo. Avtomorfizme si lahko predstavljamo kot hiperbolične zasuke dvojiškega drevesa.

Zgledi

Slika praproti, ki kaže afino samopodobnost

Mandelbrotova in Juliajeva množica sta na primer samopodobni okrog Misiurewiczevih točk.

Samopodobnost je pomembna pri gradnji računalniških mrež, saj ima tipični mrežni prenos značilnosti samopodobnosti. V telekomunikacijski tehniki se zdijo prenosni vzorci paketno preklopljenih podatkov statistično samopodobni. Ta značilnost pomeni, da preprosti modeli, ki uporabljajo Poissonovo porazdelitev, niso točni, tako da mreže, ki so grajene brez upoštevanja samopodobnosti, verjetno ne bodo delovale pravilno.

Podobno gibanja na borznem trgu kažejo značilnosti samoafinosti, kar pomeni, da izgledajo samopodobni, če se jih transformira z ustrezno afino preslikavo za nivo podrobnosti, ki se proučuje.

Glej tudi

• Drostejev pojav
• samoreferenca
• Zipfov zakon

Viri

• Leland idr. (Februar 1994). »On the self-similar nature of Ethernet traffic«. IEEE/ACM Transactions on Networking. Zv. 2, št. 1.
• Mandelbrot, Benoît (1967). »How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension«. Science.
• Mandelbrot, Benoît (Februar 1999). »How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street«. Scientific American.