Pozitivno definitna matrika

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

DefinicijaUredi

Realna simetrična matrika   razsežnosti   je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje   z realnimi elementi ( ) velja  .

Kompleksna matrika   z razsežnostjo   je pozitivno definitna, če je ℜ(z*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje  , kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor   in ℜ(c) je realni del števila  .

Kompleksna hermitska matrika   z razsežnostjo   je pozitivno definitna, če je   za vse neničelne kompleksne vektorje  . Pri tem je vrednost   vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

ZglediUredi

Matrika

  je pozitivno definitna.

Za vektor   velja  . Če sta   ali  , realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

 

ni pozitivno definitna, ker za vektor

 

velja

 .

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

ZnačilnostiUredi

  • hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p.
  • lastne vrednosti   matrike  , ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
  • naslednje matrike  , ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
    • zgornji levi kot matrike   z razsežnostjo  
    • zgornji levi kot matrike   z razsežnostjo  
    • zgornji levi kot matrike   z razsežnostjo  
    • ….
    • sama matrika  
  • vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika  , ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo
 

kjer je

  • vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
  • če je matrika   pozitivno definitna in je   realno število, potem je tudi  pozitivno definitna matrika

Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati   z   in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrikaUredi

Hermitska matrika razsežnosti   z oznako   je negativno definitna, če zanjo velja:

 

za vse   (za realne matrike pa  )

Kadar pa velja:

 

za vse   (oziroma   za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je:

 

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric W. "Positive Definite Matrix". MathWorld.
  • Pozitivna definitnost na PlanethMath (angleško)
  • Lastnosti pozitivno definitne matrike (angleško)