Pogojna verjetnost

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek $A\!$, pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek $B\!$. Takšno verjetnost označimo s $P(A|B)\!$. Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodka

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$,

kjer je

• $P(B)>0\!$
• z oznako $P(A\cap B)\!$ je označeno pojavljanje dogodka $A\!$ in dogodka $B\!$ (presek dogodkov $A\!$ in $B\!$).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s $P(AB)\!$. V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo $P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}\!$.

Kadar je $B\!$ enako nič, je verjetnost $P(A|B)\!$ nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi

$P(B|A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}}$.

Večje število dogodkov

Zgornji izraz lahko napišemo kot

$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)\!$

oziroma posplošimo na tri dogodke

$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)\!$.

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot

${\begin{aligned}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n})&=P(A_{1})\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2})}{P(A_{1})}}\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{1}\cap A_{2})}}\cdot \ldots \cdot {\frac {P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n})}{P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})}}\\&=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}|A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\end{aligned}}$

Neodvisni in nezdružljivi dogodki

Dva dogodka $A\!$ in $B\!$ sta neodvisna, če zanju velja

$P(A|B)=P(A)\!$ in $P(B|A)=P(B)\!$.

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

$P(A|B)=P(A)\!$ oziroma $P(B|A)=P(B|{\overline {A}})\!$

kjer je z ${\overline {A}}\!$ označena negacija dogodka $A\!$ (dogodek $A\!$ se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi

$P(A\cap B)=P(A).P(B)\!$.

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja

$P(A|B)=0\!$.

Bayesov obrazec

Povezavo med verjetnostjo $P(A|B)\!$ in $P(B|A)\!$ nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

$P(B{\mid }A)=P(A{\mid }B)\,{\frac {P(B)}{P(A)}}.$.

Zvezne spremenljivke

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

$f(x|A)={\begin{cases}{\frac {f(x)}{P(A)}}&x\epsilon A\\0&x\notin A\\\end{cases}}$

kjer je

• $f(x)\!$ funkcija gostote verjetnosti za slučajno spremenljivko X
• A je dogodek s pozitivno verjetnostjo

Za katerikoli dogodek B velja tudi

$P(B|A)=\int \limits _{B}f(x|A)dx\ \!$.

Verjetnost $P(B|A)\!$ je pogojna verjetnost za dogodek B, če se je zgodil dogodek A.