Pogojna verjetnost

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek , pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek . Takšno verjetnost označimo s . Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodkaUredi

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

 ,

kjer je

  •  
  • z oznako   je označeno pojavljanje dogodka   in dogodka   (presek dogodkov   in  ).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s  . V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo  .

Kadar je   enako nič, je verjetnost   nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi

 .

Večje število dogodkovUredi

Zgornji izraz lahko napišemo kot

 

oziroma posplošimo na tri dogodke

 .

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot

 

Neodvisni in nezdružljivi dogodkiUredi

Dva dogodka   in   sta neodvisna, če zanju velja

  in  .

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

  oziroma  

kjer je z   označena negacija dogodka   (dogodek   se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi

 .

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja

 .

Bayesov obrazecUredi

Povezavo med verjetnostjo   in   nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

 .

Zvezne spremenljivkeUredi

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

 

kjer je

Za katerikoli dogodek B velja tudi

 .

Verjetnost   je pogojna verjetnost za dogodek B, če se je zgodil dogodek A.