Krožna matrika (tudi ciklična matrika) je posebna vrsta Toeplitzove matrike . V krožni matriki se vsak vrstični vektor zavrti za en element proti desni glede na njemu predhodni vrstični vektor.
Krožna matrika razsežnosti
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
C
=
[
c
0
c
n
−
1
…
c
2
c
1
c
1
c
0
c
n
−
1
c
2
⋮
c
1
c
0
⋱
⋮
c
n
−
2
⋱
⋱
c
n
−
1
c
n
−
1
c
n
−
2
…
c
1
c
0
]
.
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}.}
Krožna matrika je že popolnoma določena samo z enim vektorjem, ki se nahaja v prvi vrstici matrike. Vse ostale vrstice so samo ciklične permutacije tega vektorja. Zadnja vrstica je obratni vektor prvega vektorja.
uredi
Lastni vektorji krožne matrike so dani z
v
j
=
(
1
,
ω
j
,
ω
j
2
,
…
,
ω
j
n
−
1
)
T
,
{\displaystyle v_{j}=(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\,}
kjer je
ω
j
=
exp
(
2
π
i
j
/
n
)
;
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}\,}
imaginarna enota Konstante
ω
0
,
ω
1
,
…
,
ω
n
−
1
{\displaystyle \omega _{0},~\omega _{1},~\ldots ,~\omega _{n-1}}
koreni enote , ki zadoščajo
ω
j
n
=
1
{\displaystyle \omega _{j}^{n}=1\,}
Lastne vrednosti so enake
λ
j
=
c
0
+
c
n
−
1
ω
j
+
c
n
−
2
ω
j
2
+
…
+
c
1
ω
j
n
−
1
,
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},~~j=0\ldots n-1\,}
uredi
Determinanto krožne matrike izračunamo s pomočjo obrazca
det
(
C
)
=
∏
j
=
0
n
−
1
(
c
0
+
c
n
−
1
ω
j
+
c
n
−
2
ω
j
2
+
⋯
+
c
1
ω
j
n
−
1
)
{\displaystyle {\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{1}\omega _{j}^{n-1})}
kjer je
ω
j
=
exp
(
2
π
i
j
/
n
)
;
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}\,}
imaginarna enota ker pa transponiranje ne spremeni lastnih vrednosti matrike, lahko to zapišemo tudi kot
det
(
C
)
=
∏
j
=
0
n
−
1
(
c
0
+
c
1
ω
j
+
c
2
ω
j
2
+
⋯
+
c
n
−
1
ω
j
n
−
1
)
.
{\displaystyle {\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{1}\omega _{j}+c_{2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{n-1}\omega _{j}^{n-1}).}
C
=
c
0
I
+
c
1
P
+
c
2
P
2
+
…
+
c
n
−
1
P
n
−
1
{\displaystyle C=c_{0}I+c_{1}P+c_{2}P^{2}+\ldots +c_{n-1}P^{n-1}\,}
kjer je
P
=
[
0
0
0
…
0
1
1
0
0
…
0
0
0
1
0
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
…
1
0
]
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0&0\\0&1&0&\ldots &0&0\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&0&\ldots &1&0\end{bmatrix}}\,}
Krožne matrike tvorijo komutativno algebro , ker je za poljubni dve matriki
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
+
B
{\displaystyle A+B\,}
A
B
{\displaystyle AB\,}
A
B
=
B
A
{\displaystyle AB=BA\,}
Lastni vektorji krožne matrike so stolpci matrike enotske diskretne Fourierjeve transformacije , ki jo lahko prikažemo kot Vandermondovo matriko . 
