Krožna matrika (tudi ciklična matrika) je posebna vrsta Toeplitzove matrike . V krožni matriki se vsak vrstični vektor zavrti za en element proti desni glede na njemu predhodni vrstični vektor.
Definicija
uredi
Krožna matrika razsežnosti
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
ima obliko
C
=
[
c
0
c
n
−
1
…
c
2
c
1
c
1
c
0
c
n
−
1
c
2
⋮
c
1
c
0
⋱
⋮
c
n
−
2
⋱
⋱
c
n
−
1
c
n
−
1
c
n
−
2
…
c
1
c
0
]
.
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}.}
Krožna matrika je že popolnoma določena samo z enim vektorjem, ki se nahaja v prvi vrstici matrike. Vse ostale vrstice so samo ciklične permutacije tega vektorja. Zadnja vrstica je obratni vektor prvega vektorja.
Lastni vektorji in lastne vrednosti krožne matrike
uredi
Lastni vektorji krožne matrike so dani z
v
j
=
(
1
,
ω
j
,
ω
j
2
,
…
,
ω
j
n
−
1
)
T
,
{\displaystyle v_{j}=(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\,}
kjer je
ω
j
=
exp
(
2
π
i
j
/
n
)
;
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}\,}
imaginarna enota
Konstante
ω
0
,
ω
1
,
…
,
ω
n
−
1
{\displaystyle \omega _{0},~\omega _{1},~\ldots ,~\omega _{n-1}}
so n-ti koreni enote , ki zadoščajo
ω
j
n
=
1
{\displaystyle \omega _{j}^{n}=1\,}
.
Lastne vrednosti so enake
λ
j
=
c
0
+
c
n
−
1
ω
j
+
c
n
−
2
ω
j
2
+
…
+
c
1
ω
j
n
−
1
,
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},~~j=0\ldots n-1\,}
.
Determinanta krožne matrike
uredi
Determinanto krožne matrike izračunamo s pomočjo obrazca
det
(
C
)
=
∏
j
=
0
n
−
1
(
c
0
+
c
n
−
1
ω
j
+
c
n
−
2
ω
j
2
+
⋯
+
c
1
ω
j
n
−
1
)
{\displaystyle {\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{1}\omega _{j}^{n-1})}
kjer je
ω
j
=
exp
(
2
π
i
j
/
n
)
;
j
=
0
…
n
−
1
{\displaystyle \omega _{j}=\exp(2\pi ij/n);~~j=0\ldots n-1}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}\,}
imaginarna enota
ker pa transponiranje ne spremeni lastnih vrednosti matrike, lahko to zapišemo tudi kot
det
(
C
)
=
∏
j
=
0
n
−
1
(
c
0
+
c
1
ω
j
+
c
2
ω
j
2
+
⋯
+
c
n
−
1
ω
j
n
−
1
)
.
{\displaystyle {\mbox{det}}(C)=\prod _{j=0}^{n-1}(c_{0}+c_{1}\omega _{j}+c_{2}\omega _{j}^{2}+\dots +c_{n-1}\omega _{j}^{n-1}).}
.
C
=
c
0
I
+
c
1
P
+
c
2
P
2
+
…
+
c
n
−
1
P
n
−
1
{\displaystyle C=c_{0}I+c_{1}P+c_{2}P^{2}+\ldots +c_{n-1}P^{n-1}\,}
kjer je
P
=
[
0
0
0
…
0
1
1
0
0
…
0
0
0
1
0
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
…
1
0
]
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0&0\\0&1&0&\ldots &0&0\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&0&\ldots &1&0\end{bmatrix}}\,}
ciklična permutacijska matrika
Krožne matrike tvorijo komutativno algebro , ker je za poljubni dve matriki
A
{\displaystyle A\,}
in
B
{\displaystyle B\,}
, vsota
A
+
B
{\displaystyle A+B\,}
tudi krožna matrika, prav tako je krožna matrika tudi njun produkt
A
B
{\displaystyle AB\,}
, ter tudi velja
A
B
=
B
A
{\displaystyle AB=BA\,}
,
Lastni vektorji krožne matrike so stolpci matrike enotske diskretne Fourierjeve transformacije , ki jo lahko prikažemo kot Vandermondovo matriko .
Zunanje povezave
uredi