Jacobijeva matrika in determinanta

Jacobijeva matrika (oznaka ali ) je matrika, ki jo sestavljajo parcialni odvodi prvega reda vektorja.

Determinanta, ki jo dobimo iz Jakobijeve matrike, se imenuje Jacobijeva determinanta.

Imenujeta se po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju (1804 – 1851).

Matrika ima obliko:

.

V matriki i-ta vrstica odgovarja gradientu i-te komponente funkcije ali .

Determinanto kvadratne Jacobijeve matrike včasih imenujejo tudi jakobian [1]. V literaturi se pogosto uporablja isti izraz tudi za transponirano matriko zgornje matrike.

Jacobijeva matrikaUredi

Če je dana preslikava   in so v neki točki   dani vsi prvi parcialni odvodi, potem je dana tudi Jacobijeva matrika razsežnosti  . Jacobijeva matrika neke funkcije določa orientacijo tangentne ravnine na funkcijo v dani točki. Tako Jacobijeva matrika posplošuje gradient skalarne funkcije večjega števila spremenljivk.

Jacobijevo matriko označujemo z

  ali
  ali
  ali
 .

PrimerUredi

Primer 1Uredi

Za primer poglejmo pretvorbo sfernih koordinat   v kartezični koordinatni sistem   pretvorba je dana s funkcijo   s komponentami

 
 
 .

Jacobijeva matrika je

 .

Determinanta je enaka  .

Primer 2Uredi

Poiščimo Jacobijevo matriko za funkcijo   za komponente

 
 
 
 .

V tem primeru se dobi Jacobijeva matrika

 .

Iz tega se vidi, da Jacobijeva matrika ni vedno kvadratna.

Jacobijeva determinantaUredi

Kadar je   je Jacobijeva matrika kvadratna in zanjo lahko določimo determinanto. To determinanto imenujemo Jacobijeva determinanta, ki jo včasih imenujemo tudi jakobian.

Primer Jacobijeve determinanteUredi

Jacobijeva determinanta za funkcijo   s komponentami

 

je

 .

Opombe in skliciUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi