Hodograf

Hodográf (starogrško ὁδός: odōs – pot, tir, gibanje, premik, smer + starogrško γράφω: grāpho – pisati, rezljati, risati) je v (klasični) mehaniki zvezna krivulja (diagram), ki prikazuje vektorsko vizualno predstavitev gibanja telesa ali tekočine. Je geometrijsko mesto točk povezav konic spremenljivega vektorja hitrosti točkastega telesa s poljubno izbrano nepomično točko. Lega poljubnih prikazanih podatkov na takšnemu diagramu je sorazmerna s hitrostjo gibajočega se telesa. Imenuje se tudi diágram hitrósti. Verjetno ga je rabil že James Bradley. Za praktično rabo pa ga je v glavnem razvil William Rowan Hamilton, ki je o njem leta 1846 napisal poročilo v Proceedings of the Royal Irish Academy.

Družina krožnih hodografov z enako polno energijo za Keplerjev problem določanja gibanja dveh točkastih teles, na kateri deluje sila obratno sorazmerna s kvadratom njune medsebojne razdalje. Ta družina odgovarja eni družini Apolonijevih krožnic in σ izoploskvam bipolarnih koordinat. V tem smislu so takšni hodografi prikaz vektorja gibalne količine.

Uporaba

Fizika in astronomija

Uporablja se v fiziki, astronomiji in mehaniki tekočin za prikaz deformacij materialov, gibanj planetov, oziroma katerihkoli podatkov, ki obsegajo hitrosti različnih delov teles.

Hodograf je rešitev homogene linearne navadne diferencialne enačbe 1. reda:

${\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}-f=0\!\,,$

kjer je $f\,$ razmerje med silo in maso telesa, kar je drugi Newtonov zakon. Če je $f\,$ dana kot funkcija časa $f(t)\,$, hitrosti ni težko določiti. V večini primerov pa je $f\,$ funkcija lege telesa $f(x)\,$, zaradi česar je problem težji. Če je tir telesa znan, ni težko poiskati hodograf z odvodom po času.

Meteorologija

Prikaz hodografa vetrov v zgornjih plasteh ozračja iz radiosonde, NOAA

Hodografi se v meteorologiji uporabljajo za prikaz vetrov, ki pihajo v Zemljinem ozračju. Prikazani so v polarnih koordinatah, kjer je smer vetra nakazana s kotom od središčne osi, njegova jakost pa z razdaljo od središča. Na sliki so na dnu vrednosti vetra na štirih višinah od zemeljskega površja. Prikazane so z vektorji ${\vec {V}}_{0}\,$ do ${\vec {V}}_{4}\,$. Smer je prikazana v zgornjem desnem kotu.

S hodografi in termodinamskimi diagrami, kot je npr. tefigram, lahko meteorologi izračunajo:

• vetrni strig: črte, ki združujejo skrajne meje zaporednih vektorjev, prikazujejo spremembo smeri in vrednost vetra v plasti ozračja. Vetri strig je pomembna količina pri nastanku neviht in prihodnjem razvoju vetrov v teh plasteh.
• turbulenco: vetrni strig nakazuje možno turbulenco, ki je lahko usodna za letalstvo.
• temperaturno advekcijo: sprememba temperature v plasti zraka se lahko izračuna iz smeri vetra v tej plasti in smeri vetrnega striga z naslednjo plastjo. Na severni polobli je topel zrak na desni vetrnega striga med plastmi v ozračju. Na južni polobli velja nasprotno (glej toplotni veter). V hodografu na sliki se vektor vetra $V_{3}\,$ z jugozahoda sreča z desno stranjo vetrnega striga, kar pomeni toplo advekcijo in zaradi tega segrevanje zraka v tej plasti.

Glej tudi

• Atwoodovo nihalo
• Laplace-Runge-Lenzov vektor

Viri

• Adamič, France (1979). Fizika (Leksikon Cankarjeve založbe). Ljubljana: Cankarjeva založba. COBISS 13056045.
• Calvert, James B. (2003). »The Hodograph« (v angleščini). Univerza v Denverju. Pridobljeno 28. julija 2013.