Cauchy–Schwarzova neenakost

V matematiki je Cauchy–Schwarzova neenakost, znana tudi kot Cauchy–Bunyakovsky–Schwarzova neenakost, uporabna neenakost, ki se jo uporablja na raznih področjih, kot so linearna algebra, analiza, verjetnostni račun, vektorska algebra in ostala področja. Velja za eno izmed najbolj pomembnih neenakosti v vsej matematiki.[1]

Neenakost za vsote je objavil Augustin-Louis Cauchy (1821), medtem ko je pripadajočo neenakost za integrale prvič dokazal Viktor Bunyakovsky (1859). Kasneje je integralno neenakost ponovno odkril Hermann Amandus Schwarz (1888).[1]

NeenakostUredi

Cauchy–Schwarzova neenakost pravi, da za vse vektorje   in   v prehilbertovem prostoru velja

 

kjer je   notranji produkt. Primeri notranjega produkta so realni in kompleksni skalarni produkt; glej primere notranjega produkta. Ekvivalentno, če vzamemo kvadratne korene na obeh straneh in se sklicujemo na norme vektorjev, se neenakost lahko zapiše tudi kot:[2][3]

 

Dve strani sta enaki, če in samo če sta   in   linearno odvisna (kar pomeni, da sta vzporedna: ena velikost vektorja je nič ali pa je eden vektor skalarni večkratnik drugega).[4][5]

Če   in   in če je notranji produkt standardni kompleksni notranji produkt, potem se lahko neenakost preurediti še bolj eksplicitno, kot sledi (kjer se zapis s črto uporablja za kompleksno konjugacijo):

 

ali

 

DokaziUredi

Prvi dokazUredi

Naj bosta   in   arbitrarna vektorja v vektorskem prostoru nad   z notranjim produktom, kjer je   polje realnih ali kompleksnih števil. Dokazati je treba neenakost

 

in ta neenakost drži če in samo če je   ali   večkratnik drugega (kar vsebuje poseben primer, da ima eden izmed vektorjev dolžino 0).

Če je  , je jasno razvidno, da postane to enakost in v tem primeru sta   in   tudi linearno odvisni, ne glede na  , torej izrek drži. Podobno velja tudi, če je  . Sedaj predpostavimo, da je   neničelen.

Naj bo

 

Torej je po linearnosti notranjega produkta v prvem argumentu, torej je

 

Torej je vektor   ortogonalen na vektor   (Seveda je   projekcija od   na ravnino, ki je ortogonalna na  .) Tukaj lahko uporabimo Pitagorov izrek

 

kar nam da

 

in po množenju z   in odvzemom kvadratnega korena dobimo Cauchy-Schwarzovo neenakost. Še več, če je relacija   v zgornjem izrazu v bistvu enakost, potem je   in torej je  ; definicija od   torej oblikuje relacijo linearne odvisnosti med   in  . A če sta   in   linearno odvisna, potem obstaja tak  , da velja   ( ). Torej

 

To oblikuje izrek.

Drugi izrekUredi

Naj bosta   in   arbitrarna vektorja notranjega produkta nad  .

V posebnem primeru, če je  , je izrek trivialno pravilen. Sedaj predpostavimo, da je  . Naj je   podana kot  . Iz tega sledi

 

Torej je   ali  .

Če namesto neenakosti velja enakost, potem je   in torej  , tako da sta   in   linearno odvisna. A če sta   in   linearno odvisna, potem je  , kot je bilo že pokazano v prvem primeru.

Več dokazovUredi

Obstaja še veliko različnih dokazov[6] Cauchy–Schwarzove neenakost, ki so še drugačni kot zgornja dva primera.[1][3] ko pregledamo ostale vire, sta pogosto prisotna dva vira nesoglasij. Kot prvo, nekateri avtorji definirajo, da je ⟨⋅,⋅⟩ linearen v drugem argumentu, raje kot v prvem. Kot drugo, pa so nekateri dokazi veljavni le takrat, ko je to polje nad   in ne nad  .[7]

Posebni primeriUredi

Titujeva lemaUredi

Titujeva lema (poimenovana po matematiku Titu Andreescu, znana tudi kot T2 lema, Englova oblika ali Sedrakyanova neenakost) nam pravi, da za pozitivna realna števila velja

 

Kar je neposredna posledica Cauchy–Schwarzove neenakosti, ki jo dobimo s substitucijo   in   Ta oblika je posebej priročna, ko neenakost vsebuje ulomke, kjer je števec popolni kvadrat.

R2 (navaden dvodimenzionalni prostorUredi

V navadnem 2-dimenzionalnem prostoru s skalarnim produktom, naj bosta   in  . Cauchy–Schwarzova neenakost je potem

 

kjer je   kot med   in  

Zgornja oblika je najverjetneje najlažja in najbolj razumljiva neenakost, ker je kvadrat kosinusa lahko največ 1, ko sta vektorja obrnjena v isto ali obratno smer. Lahko se jo tudi preuredi na osnovi vektorskih koordinat  in  , kot sledi

 

kjer velja enakost če in samo če je vektor   v enaki ali obratni smeri kot vektor   ali če je eden izmed obeh vektorjev enak 0.

Rn (n-dimenzionalni Evklidski prostor)Uredi

V Evklidskem prostoru   s standardnim notranjim produktom, je Cauchy-Schwarzova neenakost enaka

 

Cauchy–Schwarzova neenakost se lahko v tem primeru dokaže z uporabo samo idej iz elementarne algebre. Poglej recimo sledeči kvadratni polinom v  

 

Ker je nenegativen, ima lahko največ en realni koren za  , od tod je njegova diskriminanta manjša ali enaka nič. Torej

 

kar vodi v Cauchy–Schwarzovo neenakost.

L2Uredi

Za prostor notranjega produkta kvadratno integrabilne funkcije s kompleksno vrednostjo velja

 

Posplošitev tega je Hölderjeva neenakost.

UporabaUredi

AnalizaUredi

Kot posledica Cauchy-Schwarzove neenakost se včasih obravnava tudi trikotniško neenakost, kot sledi: če imamo podana vektorja x in y:

 

Če vzamemo kvadratne korene iz obeh strani, potem dobimo trikotniško neenakost.

 

Cauchy-Schwarzova neenakost se tudi uporablja za dokazovanje, da je notranji produkt zvezna funkcija glede na topologijo, ki je inducirana s samim notranjim produktom.[8][9]

GeometrijaUredi

Cauchy–Schwarzova neenakost dovoli razširitev pojma "kota med dvema vektorjema" do kateregakoli realnega prostora notranjega produkta z definiranjem:[10][11]

 

Cauchy–Schwarzova neenakost dokaže, da je ta definicija občutljiva s tem, da pokaže, da desna stran leži na intervalu [−1, 1] in upravičuje, da so (realni) Hilbertovi prostori samo posplošitve Evklidkega prostora. Lahko se tudi uporablja za definiranje kota v kompleksnih prehilbertovih prostorih, namreč z odvzemom absolutne vrednosti ali realnega dela na desni strani,[12][13] kot se to naredi s pridobivanjem meritev iz kvantne zvestobe.

Verjetnostni računUredi

Naj bosta X, Y slučajni spremenljivki. Potem je kovariantna neenakost[14][15] podana z

 

Po definiranju notranjega produkta na množici slučajnih spremenljivk z uporabo predvidevanja njihovega produkta

 

postane Cauchy–Schwarzova neenakost

 

Da dokažemo kovariantno neenakost z uporabo Cauchy–Schwarzove neenakosti, naj bosta   in  . Iz tega sledi

 

kjer   označuje varianco in   označuje kovarianco.

PosplošitveUredi

Obstajajo različne posplošitve Cauchy–Schwarzove neenakosti. Hölderjeva neenakost jo posploši do norme  . Še bolj splošno se jo lahko opredeli kot poseben primer definicije norme linearnega operatorja na Banachovem prostoru (Namreč, ko je prostor Hilbertov prostor). Nadaljnje posplošitve izvirajo iz področja teorije operatorjev, tj. za operatorsko-konveksne funkcije in algebro operatorjev, kjer je domena in/ali razpon zamenjan z algebro C* ali algebro W*.

Notranji produkt se lahko uporabi tudi pri dokazovanju pozitivnega linearnega funkcionala. Na primer za podan Hilbertov prostor  , naj bo   končna mera, ki jo standardni notranji produkt poda k pozitivnemu funkcionalu   z  . Obratno se lahko vsak pozitivni linearni funkcional   na   uporabi za definiranje notranjega produkta  , kjer je   točkovni kompleksni konjugat od  . V tem jeziku torej Cauchy-Schwarzova neenakost postane[16]

 

kar se dobesedno razširi na pozitivne funkcionale na algebrah C*:

Izrek (Cauchy–Schwarzova neenakost za pozitivne funkcionale na algebrah C*):[17][18] Če je   pozitivni linearni funkcional na algebri C*   potem za vse   velja  .

naslednja dva izreka sta nadaljnja primera algebre operatorjev.

Izrek (Kadison–Schwarzova neenakost,[19][20] poimenovana po Richardu Kadisonu): Če je   enotska pozitivna preslikava, potem za vsak normalni element   v njeni domedni dobimo   in  .

To razširi dejstvo, da  , ko je   linearni funkcional. Primer, ko je   sama sebi sosed, tj.   je znan tudi kot Kadisonova neenakost.

Izrek (Spremenjena Schwarzova neenakost za 2-pozitivni preslikavi):[21] Za 2-pozitivni preslikavi   med algebrami C* ter za vse   v njeni domeni:

 
 

Sledeča posplošitev pa je izpopolnitev, ki se jo da dobiti z interpolacijo med obema stranema Cauchy-Schwarzove neenakosti:

Izrek (Callebautova neenakost)[22] Za realna števila  ,

 

Neenakost se lahko enostavno dokaže z uporabo Hölderjeve neenakosti.[23] Obstajajo pa tudi ne-komutativne verzije operatorjev in tenzorskih produktov matrik.[24]

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. str. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
  2. Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (4th izd.). Stamford, CT: Cengage Learning. str. 154–155. ISBN 978-0030105678.
  3. 3,0 3,1 Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
  4. Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. str. 14. ISBN 9781461205050.
  5. Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. str. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.
  6. Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (April 2009). "Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality" (PDF). Octogon Mathematical Magazine. Vol. 17 no. 1. str. 221–229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Pridobljeno dne 18 May 2016.
  7. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
  8. Bachman, George; Narici, Lawrence (2012-09-26). Functional Analysis. Courier Corporation. str. 141. ISBN 9780486136554.
  9. Swartz, Charles (1994-02-21). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. str. 236. ISBN 9789814502511.
  10. Ricardo, Henry (2009-10-21). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. str. 18. ISBN 9781439894613.
  11. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014-06-06). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. str. 181. ISBN 9781482248241.
  12. Valenza, Robert J. (2012-12-06). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. str. 146. ISBN 9781461209010.
  13. Constantin, Adrian (2016-05-21). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. str. 74. ISBN 9781107044104.
  14. Mukhopadhyay, Nitis (2000-03-22). Probability and Statistical Inference. CRC Press. str. 150. ISBN 9780824703790.
  15. Keener, Robert W. (2010-09-08). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. str. 71. ISBN 9780387938394.
  16. Faria, Edson de; Melo, Welington de (2010-08-12). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. str. 273. ISBN 9781139489805.
  17. Lin, Huaxin (2001-01-01). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. str. 27. ISBN 9789812799883.
  18. Arveson, W. (2012-12-06). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. str. 28. ISBN 9781461263715.
  19. Størmer, Erling (2012-12-13). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
  20. Kadison, Richard V. (1952-01-01). "A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras". Annals of Mathematics. Vol. 56. str. 494–503. doi:10.2307/1969657. JSTOR 1969657.
  21. Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. str. 40. ISBN 9780521816694.
  22. Callebaut, D.K. (1965). "Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality". J. Math. Anal. Appl. Vol. 12 no. 3. str. 491–494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8.
  23. Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.
  24. Moslehian, M.S.; Matharu, J.S.; Aujla, J.S. "Non-commutative Callebaut inequality". arXiv:1112.3003 [math.FA].

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi