Von Mangoldtova funkcija

Von Mangoldtova funkcija je v matematiki aritmetična funkcija, imenovana po nemškem matematiku Hansu von Mangoldtu. Von Mangoldt je funkcijo uvedel leta 1894. Funkcija je zgled pomembne aritmetične funkcije, ki ni ne aditivna in ne multiplikativna.

Definicija

Von Mangoldtova funkcija, označena kot $\Lambda (n)\!\,$, je definirana kot:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\text{če je }}n=p^{k}{\text{ za poljubno praštevilo }}p{\text{ in celo število }}k\geq 1,\\0&{\text{drugače.}}\end{cases}}\!\,$

Tu je $\ln p\!\,$ naravni logaritem praštevila $p\!\,$. Vrednosti funkcije $\Lambda (n)\!\,$ za prvih devet pozitivnih celih števil (to je naravnih števil) so (OEIS A014963):

$0,\ln 2,\ln 3,\ln 2,\ln 5,0,\ln 7,\ln 2,\ln 3\!\,.$

Seštevalna von Mangoldtova funkcija $\psi (x)\!\,$, znana tudi kot druga funkcija Čebišova, je definirana kot:

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\!\,.$

Uvedba von Mangoldotove funkcije je omogočila strogi dokaz za eksplicitno formulo za $\psi (x)\!\,$ vključno z vsoto čez netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ. To je bil pomemben del prvega dokaza praštevilskega izreka.

Značilnosti

Za von Mangoldtovo funkcijo velja enakost:

$\ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)\!\,.$

Vsota poteka čez vsa cela števila $d\!\,$, ki delijo $n\!\,$. To dokaže osnovni izrek aritmetike, saj so členi, ki niso potence praštevil, enaki 0. Naj je na primer $n=12=2^{2}\cdot 3\!\,$. Potem sledi:

${\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\cdot 3)+\Lambda \left(2^{2}\cdot 3\right)\\&=0+\ln 2+\ln 3+\ln 2+0+0\\&=\ln(2\cdot 3\cdot 2)\\&=\ln(12)\!\,.\end{aligned}}$

Po Möbiusovem obratu velja:

$\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln(d)\!\,.$

Dirichletove vrste

Von Mangoldtova funkcija je pomembna v teoriji Dirichletovih vrst in še posebej Riemannove funkcije ζ. Velja na primer:

$\ln \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\ln(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1\!\,.$

Logaritemski odvod je potem:

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\!\,.$

To so posebni primeri splošnejše povezave na Dirichletove vrste. Če velja:

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\!\,$

za popolnoma multiplikativno funkcijo $f(n)\!\,$ in vrsta konvergira za $\Re (s)>\sigma _{0}\!\,$, razmerje:

${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}\!\,$

konvergira za $\Re (s)>\sigma _{0}\!\,$.

Funkcija Čebišova

Druga funkcija Čebišova $\psi (x)\!\,$ je seštevalna funkcija von Mangoldtove funkcije:

$\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\ln p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\!\,.$

Mellinova transformacija funkcije Čebišova se lahko izpelje s pomočjo Perronove formule:

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,\mathrm {d} x\!\,,$

ki velja za $\Re (s)>1\!\,$.

Eksponentna vrsta

Hardy in Littlewood sta raziskovala vrsto:

$F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}\!\,$

v limiti $y\to 0^{+}\!\,$. Če sta privzela veljavnost Riemannove domneve, sta pokazala, da velja:

$F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{ in }}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\!\,.$

Še posebej ta funkcija oscilira z divergirajočimi oscilacijami – obstaja takšna vrednost $K>0\!\,$, da obe neenakosti:

$F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ in }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}\!\,$

veljata nekončno mnogokrat v poljubni okolici 0. Graf na desni prikazuje, da to obnašanje sprava ni numerično očitno: oscilacije niso jasno vidne dokler se ne najde vsota vrste s 100 milijoni členi, ter je le takoj vidna, ko je $y<10^{-5}\!\,$.

Rieszeva sredina

Rieszeva sredina von Mangoldtove funkcije je dana z:

${\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,\mathrm {d} s\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\!\,.\end{aligned}}$

Tu sta $\lambda \!\,$ in $\delta \!\,$ števili, ki označujeta Rieszevo sredino. Treba je vzeti $c>1\!\,$. Vsota čez $\rho \!\,$ je vsota čez netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ,

$\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\!\,$

pa se lahko pokaže, da je konvergentna vrsta za $\lambda >1\!\,$.

Aprokcimacija z ničlami Riemannove funkcije ζ

Val prvih netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ v vsoti, ki aproksimira von Mangoldtovo funkcijo

Obstaja eksplicitna formula za seštevalno von Mangoldtovo funkcijo $\psi (x)\!\,$:

$\psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )\!\,.$

Če se ločijo trivialne ničle Riemannove funkcije ζ, ki so negativna soda cela števila, velja:

$\psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ \Re (\rho )>0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})\!\,.$

Z odvajanjem obeh strani in neupoštevanjem problema konvergence, se dobi »enakost« porazdelitev:

$\sum _{q=p^{r}}\Lambda (q)\delta (x-q)=1-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ \Re (\rho )>0}{\frac {x^{\rho }}{x}}+{\frac {1}{x-x^{3}}}\!\,.$

(levo) Von Mangoldtova funkcija, aproksimirana z valom ničel Riemannove funkcije ζ. (desno) Fourierova transformacija von Mangoldtove funkcije da spekter z imaginarnimi deli ničel Riemannove funkcije ζ kot vrhovi na osi $x\!\,$.

Tako se lahko pričakuje, da imajo vsote čez netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ:

$-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ \Re (\rho )>0}{\frac {x^{\rho }}{x}}\!\,$

vrhove pri praštevilih. Dejansko je tako, kar se lahko vidi na grafu, in se lahko tudi preveri z izračunom.

Fourierova transformacija von Mangoldtove funkcije da spekter z vrhovi na osi $x\!\,$, ki predstavljajo imaginarne dele netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ. To se včasih imenuje dualnost.

Glej tudi

• število praštevil

Viri

• Apostol, Tom Mike (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Conrey, John Brian (Marec 2003), »The Riemann hypothesis« (PDF), Notices Am. Math. Soc., 50 (3): 341–353, Zbl 1160.11341
• Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor (1916), »Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes« (PDF), Acta Mathematica, 41: 119–196, doi:10.1007/BF02422942, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 7. februarja 2012, pridobljeno 3. julija 2014
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, Edward Maitland (2008) [1938], Heath-Brown, D. R.; Silverman, Joseph Hillel (ur.), An Introduction to the Theory of Numbers (6. izd.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Schroeder, Manfred R. (1997), Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity, Springer Series in Information Sciences, zv. 7 (3. izd.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62006-0, Zbl 0997.11501
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, zv. 46, prevod: C.B. Thomas, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7, Zbl 0831.11001

Zunanje povezave

• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• S. A. Stepanov (2001) [1994], »Mangoldt function«, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Mangoldt Function«. MathWorld.