Singularna točka krivulje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje uredi

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk  , ki zadoščajo enačbi z obliko  , kjer je f polinomska funkcija  . Funkcijo f razvijmo kot

 .

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja  . Če pa je  , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko  . Podobno lahko zapišemo, če je  , potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko  . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

 .

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

 .

Regularne točke uredi

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo  . V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

 

Kadar vrednost izraza   ni enaka 0 takrat ima enačba   eno rešitev v  . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico  . Če pa je  , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica   ali   je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke uredi

 
Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta   in   enaka 0 in je vsaj eden od   ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je  , lahko zapišemo

 .

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c0+mc1+m2c2=0.

Dvojne točke uredi

Kadar je   dobimo dve realni rešitvi. Če pa je   se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe  . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke uredi

Kadar enačba   nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata uredi

Če   nima realnih rešitev in je  , potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi uredi

Zunanje povezave uredi