Algebrska krivulja

Algebrska krivulja je v algebrski geometriji algebrska varieteta z razsežnostjo 1. Teorija teh krivulj je bila razvita v 19. stoletju.

Enostavno se lahko reče, da je krivulja algebrska, kadar se jo lahko v kartezičnih koordinatah opiše kot polinom z realnimi koeficienti. Kadar pa krivulja ni algebrska, se imenuje transcendentna.

Algebrske krivulje se delijo na več skupin. Za vsako skupino je značilna stopnja polinoma, ki opisuje krivuljo. Na ta način se loči:

  • krivulje prve stopnje (premica)
  • krivulje druge stopnje (stožnice)
  • krivulje tretje stopnje (kubične krivulje)
  • krivulje četrte stopnje (kvartične)
  • krivulje šeste stopnje (sekstične)
  • krivulje osme stopnje (oktične)
  • krivulje ostalih (višjih) stopenj

Stopnja krivulje je enaka stopnji polinoma. Algebrske krivulje pripadajo enačbam, ki vsebujejo samo algebrske funkcije.

Algebrske krivulje so lahko tudi prostorske krivulje ali celo krivulje v večrazsežnih prostorih. Lahko se jih dobi kot presečišče več kot enega polinoma, ki ima več kot dve spremenljivki. Z eliminacijo spremenljivk s pomočjo rezultante dveh polinomov se jih lahko prevede na ravninsko algebrsko krivuljo.

Ravninske algebrske krivuljeUredi

Algebrska ravninska krivulja, definirana nad obsegom F je geometrijsko mesto točk v   določenih z najmanj   neodvisnih polinomov z   spremenljivkami in s koeficienti   v F, kjer se krivuljo definira tako, da se postavi posamezne koeficiente enake nič  .

Projektivne krivuljeUredi

Pogosto se želi, da je geometrijsko mesto točk v projektivnem prostoru. V množici enačb   se lahko nadomesti vsak   z   in se množi z  , kjer je   stopnja  . Na ta način se dobi homogene polinomske funkcije, ki definirajo odgovarjajoče krivulje v projektivnem prostoru  . Za ravninske algebrske krivulje obstaja samo ena enačba, to je  . Zgled: Fermatova krivulja   je projektivna krivulja.

Primeri algebrskih krivuljUredi

Racionalne krivuljeUredi

Racionalna krivulja je vsaka krivulja, ki je biracionalno ekvivalentna premici.

StožniceUredi

Pomembna vrsta algebrskih krivulj so stožnice, ki so nesingularne krivulje stopnje 2 z rodom enakim nič.

Eliptične krivuljeUredi

Druga pomembna vrsta algebrskih krivulj so eliptične krivulje, ki pa so nesingularne z rodom 1.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Algebraic Curve". MathWorld (angleščina).
  • Algebrska krivulja v Encyclopeda of mathematics (angleško)
  • Algebrska krivulja v Encyclopedia of Science (angleško)
  • Racionalne krivulje (angleško)