Cayleyjeva tabela

Cayleyjeva tabela opisuje strukturo in značilnosti končne grupe tako, da prikazuje vse možne zmnožke vseh elementov grupe.

Imenuje se po angleškem matematiku in odvetniku Arthurju Cayleyju (1821 – 1895).

Mnogo značilnosti grupe se lahko razbere iz tabele.

Enostaven zgled Cayleyjeve tabele za grupo za običajno množenje je

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Zgradba in izgled tabeleUredi

Mnogo Cayleyjevih tabel opisuje grupe, ki niso Abelove. Kadar je grupna binarna operacija za elementa   in   enaka  , ne moremo biti prepričani, da je zmnožek   enak. Zaradi tega velja dogovor, da je prvi faktor v vrstici vedno enak. Prav tako je drugi faktor v vsakem stolpcu tudi enak. Zgled:

* a b c
a a2 ab ac
b ba b2 bc
c ca cb c2

ZnačilnostiUredi

KomutativnostUredi

Cayleyjeva tabela nam pove tudi, če je neka grupa Abelova grupa. Grupna operacija Abelovih grup je komutativna. Grupa je Abelova, če in samo,če je njena Cayleyjeva tabela simetrična.

AsociativnostUredi

Asociativnost se pri grupah vzame kot aksiom. Cayleyjeve tabele se uporabljajo za opisovanje operacij kvazigrup, ki vedno niso asociativne. Ne moremo pa ugotoviti samo s pomočjo Cayleyjeve tabele, če je neka operacija asociativna (tako, kot je to možno pri komutativnosti).

PermutacijeUredi

Nobena vrstica ali stolpec ne sme vsebovati istega elementa dvakrat. Vsaka vrstica in stolpec je permutacija elementov iz grupe.

Iz tega sledi, da je Cayleyjeva tabela za grupo poseben primer latinskega kvadrata.

Zunanje povezaveUredi